Independencia de álgebras de sigma

Question

Buen día a todos.

Mientras que la solución de algún problema de estudio de carácter obtuve algunos declaración de demostrar, que es el siguiente (este es de mi interés interno para demostrarlo rigurosamente).

Suponga que $X_1, \ldots, X_k, X_{k+1}, \ldots, X_\ell, X_{\ell + 1}, \ldots, X_n$ son yo.yo.d. las variables aleatorias de las que se desconoce la distribución ($1 \le k < \ell < n$). Véase también EDIT1 para el crucial assumtions.

Lo que es realmente intuitivamente comprensible, pero bastante claro de cómo escribir, es la siguiente declaración: demostrar que los eventos $$ \max(X_1, \ldots, X_k) \le \max(X_{k+1}, \ldots, X_\ell) $$ y $$ \max(X_1, \ldots, X_{\ell}) \le \max(X_{\ell+1}, \ldots, X_n) $$ son independientes.

Cualitativamente y de forma intuitiva es aceptar: el segundo "olvida" de la configuración de los valores máximos en $X_1, \ldots, X_\ell$.

También es bastante claro cómo representar "con imagen": el álgebra de eventos de la probabilidad subespacio de la primera $\ell$ coordenadas genera la cilíndrico de álgebra, que es subalgebra de eventos del total ($n$-coordinar) probabilidad de espacio.

De alguna manera tengo la sensación de que el condicionamiento en tales cilíndrico subalgebra no debe cambiar la distribución, pero tengo una falta de imaginación (y el conocimiento de los resultados) ahora, para sacar algo de eso.

¿Alguien puede explicar eso? Gracias.

EDIT1 Debido a los comentarios que he recibido un claro entendimiento de que esto no es cierto en general, por lo que asume que la distribución es continua, de acuerdo con los comentarios. Es posible decir algo en este caso?

Answer 1

No que el resultado tiene...

Intente $(k,\ell,n)=(1,2,3)$, a continuación, los eventos se $A=[X_1\leqslant X_2]$$B=[\max(X_1,X_2)\leqslant X_3]$. Suponga que las variables aleatorias $X_k$ son de Bernoulli con parámetro de $p$, $P[X_k=1]=p$$P[X_k=0]=1-p$.

Entonces $P[A]=(1-p)+p^2$, $P[B]=(1-p)^2+(1-(1-p)^2)p$, y $A\cap B=[X_1\leqslant X_2\leqslant X_3]$ por lo tanto $P[A\cap B]=(1-p)((1-p)+p^2)+p^3$. Desde $P[A]$, $P[B]$ y $P[A\cap B]$ son polinomios en $p$ de grado $2$, $3$ y $2$, respectivamente, de la identidad de la $P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B]$ no puede mantener para cada $p$$[0,1]$.

Para ser más específicos, asumir que $p=\frac12$, $(X_1,X_2,X_3)$ es distribuido uniformemente en el cubo $\{0,1\}^3$, $P[A\cap B]=\frac12$ y $P[A]\cdot P[B]=\frac34\cdot\frac58\ne\frac12$.

Sin embargo, si el común de distribución es continua, entonces el resultado se da al$(k,\ell,n)=(1,2,3)$, ya que por la intercambiabilidad de la aleatorios vectoriales $(X_1,X_2,X_3)$ y debido a los lazos tienen probabilidad cero, entonces $P[A]=\frac12$, $P[B]=\frac13$ y $P[A\cap B]=\frac16$.

En general el ajuste continuo, escribir $A=[M_1\lt M_2]$, $B=[\max(M_1,M_2)\lt M_3]$ y $A\cap B=[M_1\lt M_2\lt M_3]$, esperemos que obvio notaciones. A continuación, $A$ significa que el registro entre el $\ell$ primer variables aleatorias que sucede en el $\ell-k$ el pasado. Por lo tanto, $P[A]=(\ell-k)/\ell$. Asimismo,$P[B]=(n-\ell)/n$. Para el estudio de $A\cap B$, condición en $B$ y sacar uno por uno a las filas de la muestra $(X_k)$ en orden decreciente. El primer rango es en el$(\ell,n]$, por hipótesis. El primer puesto no en el $(\ell,n]$ rango es uniforme en $[1,\ell]$, por la intercambiabilidad. Tenga en cuenta que $A$ ocurre si y sólo si este rango es en $(k,\ell]$ por lo tanto $P[A\mid B]=(\ell-k)/\ell$. QED.

Answer 2

Tome$X,Y,Z$ iid con la distribución de Bernoulli (0.5). Entonces$P(X \leq Y) = \frac{3}{4}$ y$P(\max(X,Y)=1) = \frac{3}{4}$ so$P(\max(X,Y) \leq Z) = \frac{5}{8}$. Pero $$ P (X \ leq Y, \ max (X, Y) \ leq Z) = P (X \ leq Y, Y \ leq Z) = \ frac {1} {2} {32}. $$