Evalúe el% integral% #%

Question

Me gustaría ayuda con la siguiente integral:

ps

Gracias.

Answer 1

ps

Answer 2

Esto se reduce a una serie$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \int_n^{n+1}\!\! n e^{-x}\;dx$. Las integrales son fáciles de evaluar y también lo es la serie.

Answer 3

No hace falta ninguna suma explícita. (Tenga en cuenta que tenemos$\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor +n$ para cualquier número entero$n$.)

Dejar $I = \int_0^\infty \lfloor x \rfloor e^{-x} dx $. Dejando$t=x+1$, obtenemos$I = \int_1^\infty (\lfloor t \rfloor -1)e e^{-t} dt = e\int_1^\infty \lfloor t \rfloor e^{-t} dt - e \int_1^\infty e^{-t} dt = e (I-e^{-1})$.

La resolución da$I={1 \over e-1}$.