¿Converge$A_n= \sqrt{1^2+\sqrt{2^2+\sqrt{...+\sqrt{n^2}}}}$?

Question

¿Podemos encontrar el valor de$\lim_{n\to \infty} A_n$, ¿converge?

ps

Intenté calcular$$A_n= \sqrt{1^2+\sqrt{2^2+\sqrt{3^2+\sqrt{4^2+\sqrt{...+\sqrt{n^2}}}}}} $, pero mi computadora no puede hacer más términos.

Answer 1

Vea aquí para referencias a un criterio. $$\limsup_{n\to\infty} \frac{\log n^2}{2^n} = 2\limsup_{n\to\infty} \frac{\log n}{2^n} = 0$ $ Así que la convergencia es positiva. El valor es otra historia sin embargo.

Answer 2

Por supuesto, podemos hacer una aproximación numérica. He utilizado el siguiente código (Mathematica):

N[Module[{n = 0}, 
 Nido[(n++; # /. x -> n^2 + Sqrt[x]) y, 
 Sqrt[x], 50]
 ] /. x -> 0,
50]

la cual por primera vez de forma recursiva pone un $x$ dentro de la $51$st radical, entonces lo reemplaza por cero, y aproxima el resultado a $50$ dígitos.

Esto da el número:

$$A_{50} \approx 1.9426554227639873282214132914126672376880736300071$$

El código anterior puede ser fácilmente ejecutado para más profundamente anidada radicales para obtener más precisión, pero la primera $50$ dígitos son correctos.

A la Inversa Simbólico de la Calculadora no tiene alguna sugerencia para el límite -- no, incluso en el modo "avanzado". Por lo que sólo puede ser el promedio de número irracional fuera de $\mathsf{Alg}(\Bbb Q[\pi,e])$, los números algebraicos sobre $\Bbb Q[\pi,e]$.