Cómo definir un orden de bien en$\mathbb R$?

Question

Me gustaría definir un orden en $\mathbb R$. Mi primer pensamiento fue, por supuesto, el uso de $\leq$. Por desgracia, el resultado no está bien fundada, ya que $(-\infty,0)$ es un ejemplo de un subconjunto que no tiene un mínimo elemento.

Mi siguiente pensamiento fue el uso que $P(\mathbb N)$ es en bijection con $\mathbb R$ y, a continuación, utilizar $\subseteq$. Por desgracia, esto no es un total de (=lineal).

Ahora estoy atascado. Es posible que alguien me muestre cómo definir un orden en $\mathbb R$? (Usando el axioma de elección es permitido.) Muchas gracias.

Contexto: Este es un ejercicio en un libro que me estoy leyendo actualmente:

Answer 1

Suponiendo que el axioma de elección se mantiene, es posible para el buen fin de cada conjunto. En particular, los números reales.

Arreglar una función de elección en $P(\mathbb R)\setminus\{\varnothing\}$, nos vamos a denotar por $f$. Podemos ahora definir por inducción transfinita una inyección de $\mathbb R$ en los ordinales:

Suponiendo que $r_\alpha$ fueron definidos por todos los $\alpha<\beta$, definir $r_\beta=f(\mathbb R\setminus\{r_\alpha\mid\alpha<\beta\})$. Si $\mathbb R\setminus\{r_\alpha\mid\alpha<\beta\}=\varnothing$ a continuación, nos detendremos.

De inmediato nos tiene que $r_\alpha\neq r_\beta$$\alpha\neq\beta$; esto tiene que terminar porque $\mathbb R$ es un conjunto, y la inducción no puede ir a través de toda la clase de los números ordinales; y la inducción cubre todos los números reales, porque nos puede mantener en la elección.

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Uno puede apelar a los equivalentes de el axioma de elección para mostrar la existencia:

• Usando el lema de Zorn, vamos a $(P,\leq)$ ser la colección de los pedidos de los subconjuntos de los números reales, ordenado por las extensiones. Supongamos que tenemos una cadena de estas órdenes, su unión es un enumerado de la unión de los conjuntos ordenados y por lo tanto puede ser bien ordenado (sin asumir el axioma de elección tiene en cualquier forma).

  Por el lema de Zorn tenemos un elemento maximal, y por su maximality es obvio que hemos de tener bien ordenada la totalidad de los números reales.

• El uso de la tricotomía principio (cada dos cardenales puede ser bien ordenado) podemos comparar $\mathbb R$ con su Hartogs número $\kappa$ (un ordinal que no puede ser inyectado en $\mathbb R$), tiene que ser $\mathbb R$ inyecta en $\kappa$, y por lo tanto hereda un bien de orden por tipo de infiltración.

La lista continúa. La más sencilla sería utilizar "El poder conjunto de un conjunto ordenado es bien ordenado". Como $\mathbb N$ es bien ordenado, se deduce que el $\mathbb R$ puede ser bien ordenado.

Sin embargo, ninguna otra prueba que yo sepa tiene ningún sentido de constructibility como el uso de una función de elección en el juego de poder de $\mathbb R$ e inducción transfinita.

Answer 2

No es posible: es consistente con ZF que$\Bbb R$ no esté bien ordenado. Vea esta respuesta para los principiantes.

Answer 3

Repetir Asaf la respuesta en mis propias palabras para probar si yo lo entiendo:

Una vez que tenemos un bijection $f: \mathbb R \to S \subset \mathbf{ON}$, $\mathbb R$ está bien ordenado por la relación $r < r' \iff f(r) < f(r')$.

Para definir un bijection asumir el axioma de elección, de modo que hay una función de elección $f$$P(\mathbb R) \setminus \{\varnothing\}$. El uso de $f$ definir un mapa de $g: S \subset \mathbf{ON} \to \mathbb R $ como sigue:

$$ 0 \mapsto f(\mathbb R)$$ $$ n \in \mathbb N \mapsto f(\mathbb R \setminus \{g(0), \dots, g(n-1) \})$$ $$ \beta \mapsto f(\mathbb R \setminus \{g(\alpha) \mid \alpha < \beta \})$$

Entonces el dominio de $g$ es todos los sets para que $\mathbb R \setminus \{g(\alpha) \mid \alpha < \beta \} \neq \varnothing$, $g$ es inyectiva por la construcción ($f$ no puede suponer un antes se asumió el valor de la función, ya que se eliminan del conjunto en cada paso.) y $g$ es surjective también por la construcción ya que si $\mathbb R \setminus \{g(\alpha) \mid \alpha < \beta \} = \varnothing$ significa precisamente que $f$ ha asignado a todos los de $\mathbb R$.