Resolver una ecuación funcional $f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=x$

Question

Me dieron la siguiente tarea: enumerar todas las funciones $f:\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=x$ . Y obviamente no tengo ni idea de lo que debo hacer aquí. Se agradece una explicación paso a paso.

Answer 1

Dejemos que $g(x)=\frac{1}{1-x}$ . Entonces, tenemos el sistema \begin{align*} f(x)+f[g(x)]&=x;\\ f[g(x)]+f[g(g(x))]&=g(x);\\ f[g(g(x))]+f[g(g(g(x)))]&=g(g(x)). \end{align*} Pero $g(g(g(x)))=x$ así que lo anterior es un sistema de 3 ecuaciones en 3 incógnitas $\{f(x),f[g(x)],f[g(g(x))]\}$ . Resolver para $f(x)$ .

Answer 2

La matriz del sistema es $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0&& x\\ 0&1&1&& {\frac{1}{{1 - x}}}\\ 1&0&1&& {\frac{{x - 1}}{x}} \end{array}} \right)$

La solución del sistema es $\left\{ {\frac{{1 - x + {x^3}}}{{2\left( { - 1 + x} \right)x}},\frac{{ - 1 + x - 2{x^2} + {x^3}}}{{2\left( { - 1 + x} \right)x}},\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{x} - x} \right)} \right\}$ así que $f(x)={\frac{{1 - x + {x^3}}}{{2\left( { - 1 + x} \right)x}}}$