Abierto afín subscheme de afín esquema que no es el principal

Question

No estoy seguro de si esto no es trivial o no, pero, ¿existen ejemplos sencillos de un esquema afín X tener un abrir afín subscheme U que no es principal en X? Por un principal de abiertos de X = Spec A, me refiero a cualquier cosa de la forma D(f) = {P en Spec A : f no está en P}, donde f es un elemento de A.

Answer 1

Sea X una curva elíptica con el elemento de identidad O eliminado. Sea U=X-P donde P es un punto del infinito de la orden. Entonces U es afín por una de Riemann-Roch argumento. Ahora supongamos que U=D(f). A continuación, en la totalidad de la curva elíptica, el divisor de f debe ser apoyado en P y S solo. Esto implica que P es un punto de torsión, una contradicción.

Answer 2

Para un simple, concreto ejemplo también se puede ver en:

$A=k[X,Y,U,V]/(XY+UX^2+VY^2)$, $X =Spec(A)$, $I=(X,Y)$, $U = D(I)$.

A continuación, las funciones $f=-V/X=(Y+UX)/Y^2$ $g=-U/Y=(X+VY)/X^2$ se definen en $U$. Pero $Yf+Xg=1$, lo $U$ es afín!

Saludos,

Answer 3

Sólo quiero remarcar que no es puramente categórica caracterización de los ideales $I \subseteq A$ de manera tal que la correspondiente abrir subscheme $D(I) = V(I)^c$ $\text{Spec}(A)$ es afín, es decir, que el ideal de $I$ es codisjunctable. Esto significa que no es un universal homomorphism $A \to B$ satisfacción $IB=B$. Este concepto es estudiado en

Yves Diers, Codisjunctors y Singular Epimorphisms en la Categoría de Anillos Conmutativos, Revista de la Pura y Aplicada, Álgebra, 53, 1988, págs. 39 - 57

Answer 4

No estoy del todo seguro de lo que quieres decir, pero si te refieres a cuyo complemento no es principal, tome $\mathbb{A}^2\setminus\{0\}$ que es un abierto subscheme de $\mathbb{A}^2$. Ahora, si te refieres a que la abra subscheme no se corta a cabo por una sola ecuación, cualquier subscheme otros de todo el espacio va a hacer por una irreductible esquema, debido a que el único conjunto abierto que se corta por un ideal es la de todo el esquema.