Encuentra todas las soluciones reales de
ps
Traté de cubo de ambos lados, pero se metió con una ecuación de nueve grados! Por favor ayuda.
¡Gracias por adelantado!
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Ty221
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Escribe tu ecuación como$$\frac{x^{3}+1}{2}=(2x-1)^{1/3}$ $ Ahora observa que estas son inversas entre sí. Es decir,$y=\frac{1}{2}(x^{3}+1)$ es un reflejo de$y=(2x-1)^{1/3}$ en la línea$y=x$. Por simetría, entonces, cualquier raíz también debe estar en$y=x$. La manera más fácil de escribir esto es$$\frac{x^{3}+1}{2}=x \implies x^{3}-2x+1=0$ $ Que factorises to$$(x-1)(x^{2}+x-1)=0$ $ No se requiere maquinaria pesada!
Se nos da
$$x^3+1=2{(2x-1)}^\frac{1}{3}$$
Sustituto $(2x-1)=y$
$\implies x^3=2y-1$
También,
$y^3=2x-1$ [Usando la inicial de sustitución]
Restando las dos ecuaciones de arriba, obtenemos,
$x^3-y^3=-2(x-y)$
$\implies x=y$
o,
$x^2+xy+y^2=-2$
Pero desde $x^2+y^2 \ge xy$ y L. H. S. es, pues, positivo,
$\implies x^2+y^2+xy=-2$ no da solución.
Ahora, como $x=y$,
$\implies x=(2x-1)^{\frac{1}{3}}$
$\implies x^3-2x+1=0$
Ahora, el uso racional de la raíz teorema, $x=1$ satisface la ecuación anterior. Así, por la divisoria con $(x-1)$, obtenemos
$(x-1)(x^2+x-1)=0$
$\implies x=1,\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ son las soluciones necesarias.
Claude Leibovici
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Considere la función $$f(x)=x^3+1-2{(2x-1)}^{1/3}$$ It is only defined for $x \geq \frac{1}{2}$. If you compute the second derivative $$f''(x)=6 x+\frac{16}{9 (2 x-1)^{5/3}}$$ it is always positive. So, the maximum number of roots is $2$. Since $x=1$ has been identified by inspection, it means that $f(1-\epsilon) \lt 0$ and since $f(\frac{1}{2})=\frac{9}{8}>0$, there is another root located between $\frac{1}{2}$ and $1$.
Como Holographer escribió, la raíz corresponde a $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, pero no sé cómo encontrar sin saber el resultado de antemano.
Pero se pueden calcular usando método de Newton. Comenzando en $x_0=0.6$ y el uso de la clásica cuadrática esquema de $$x_{n+1}=x_n-\frac {f(x_n)}{f'(x_n)}$$ the successive iterates are $0.616459$, $0.618022$, $0.618034$ cual es la solución para seis cifras significativas.
