Si se trata de una serie telescópica, ¿cómo se derrumba? Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Question

Express$$\frac{3r+1}{r(r-1)(r+1)}$ $ en fracciones parciales. Por lo tanto, o de otra manera, mostrar

ps

Por lo tanto, he obtenido las fracciones parciales$$\sum_{r=2}^n\frac{3r+1}{r(r-1)(r+1)}=\frac52-\frac2n-\frac{1}{n+1}$ $

entonces para $$\frac{3r+1}{r(r-1)(r+1)}=\frac{2}{r-1}-\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}$

$$ \begin{align} & {}+2-\frac12-\frac13 \\[8pt] & {}+1-\frac13-\frac14 \\[8pt] & {}+\frac23-\frac14-\frac15 \\[8pt] & {}+\frac12-\frac15-\frac16 \\[8pt] & {}+\cdots \\[8pt] & {}+\frac{2}{n-2}-\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \\[8pt] & {}+\frac{2}{n-1}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \end {align} $$

Si se trata de una serie telescópica, ¿cómo se derrumba?

Answer 1

SUGERENCIA: $$ \begin{align*} +&2\color{black}{-\frac12}\color{red}{-\frac13}\\ +&\color{black}{1}\color{red}{-\frac13}\color{green}{-\frac14}\\ +&\color{red}{\frac23}\color{green}{-\frac14}\color{magenta}{-\frac15}\\ +&\color{green}{\frac12}\color{magenta}{-\frac15}-\frac16\\\\ +&\cdots \end {align *} $$

Answer 2

INSINUACIÓN:

Hay al menos dos métodos para$$\frac{3r+1}{r(r-1)(r+1)}=\frac{2}{r-1}-\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}$ $

Método $1:$

ps

El sobreviviente de la suma$$\frac{2}{r-1}-\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}=-\left(\frac1{r+1}-\frac1r\right)-2\left(\frac1r-\frac1{r-1}\right)$ después de la cancelación,

Para la primera parte será$2\le r\le n$

Para la segunda parte será$\displaystyle-\left(\frac1{n+1}-\frac12\right)=\frac12-\frac1{n+1}$

Método $\displaystyle-2\left(\frac1n-\frac11\right)=2-\frac2n$

ps

Ponga algunos valores de$2:$ como$$\frac{2}{r-1}-\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}=\left(\frac1{r-1}-\frac1r\right)-\left(\frac1{r+1}-\frac1{r-1}\right)$ y$r$ para reconocer la naturaleza telescópica y los términos de supervivencia después de la cancelación

Answer 3

Tenga en cuenta que $\cfrac 2{r-1}=\cfrac 1{r-1}+\cfrac 1{r-1}$. Excepto al principio y al final una de estas fracciones se cancelará con un elemento del término anterior, y se cancelará con un elemento del término anterior.

En su cálculo tiene$+1$ en la tercera fila, que cancela con$-\frac 12$ en cada una de las filas primera y segunda. Y en la cuarta fila$\frac 23$ cancela con$-\frac13$ en la segunda y tercera filas.