Un producto de variedades suaves junto con una variedad suave con límite es una variedad suave con límite

Question

Supongamos que $M_1, \dots M_k$ son colectores suaves y $N$ es una variedad lisa con límite. Entonces, ¿cómo puedo ver que $M_1 \times \dots \times M_k \times N$ es una variedad lisa con límite, y $$\partial(M_1 \times \dots \times M_k \times N) = M_1 \times \dots \times M_k \times \partial N?$$

Answer 1

Utilizando el resultado más sencillo de que los productos finitos de las variedades suaves (sin límites) son variedades suaves, su problema puede reducirse al caso en que $k=1$ .

Ahora, dado cualquier punto $\left(x,y\right) \in M_{1} \times N$ existe un gráfico $\left(U,\phi\right)$ en $x$ en el atlas de $M_{1}$ y un gráfico $\left(V,\psi\right)$ en $y$ en el atlas de $N$ . Ahora, $U \times V$ es una vecindad de $\left(x,y\right)$ en la topología del producto, y el mapa $\phi \times \psi$ es un homeomorfismo de $U\times V$ a $\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{H}^{n}$ . Observando que $\mathbb{H}^{n} := \left\{\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n} | x_{n} \geq 0\right\}$ tenemos $\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{H}^{n} = \mathbb{H}^{m+n}$ . Utilice esto para demostrar que $M_{1} \times N$ es un colector con límite.

Para la segunda parte, dado un punto cualquiera $\left(x,y\right)$ , ya sea $y \in \partial N$ (es decir, $\psi\left(y\right) \in \partial \mathbb{H}^{n}$ ) o $y \notin \partial N$ (es decir, $\psi\left(y\right) \notin \partial \mathbb{H}^{n}$ . Ahora, $\partial \mathbb{H}^{n} := \left\{\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n} | x_{n} = 0\right\}$ . Así, $\partial \left(\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{H}^{n}\right) = \mathbb{R}^{m} \times \partial \mathbb{H}^{n}$ . Utilice esto para demostrar que $\partial M_{1} \times N = M_{1} \times \partial N$ .