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Un producto de variedades suaves junto con una variedad suave con límite es una variedad suave con límite

Supongamos que M1,Mk son colectores suaves y N es una variedad lisa con límite. Entonces, ¿cómo puedo ver que M1××Mk×N es una variedad lisa con límite, y (M1××Mk×N)=M1××Mk×N?

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Antony Carthy Puntos 2558

Utilizando el resultado más sencillo de que los productos finitos de las variedades suaves (sin límites) son variedades suaves, su problema puede reducirse al caso en que k=1 .

Ahora, dado cualquier punto (x,y)M1×N existe un gráfico (U,ϕ) en x en el atlas de M1 y un gráfico (V,ψ) en y en el atlas de N . Ahora, U×V es una vecindad de (x,y) en la topología del producto, y el mapa ϕ×ψ es un homeomorfismo de U×V a Rm×Hn . Observando que Hn:={(x1,,xn)Rn|xn0} tenemos Rm×Hn=Hm+n . Utilice esto para demostrar que M1×N es un colector con límite.

Para la segunda parte, dado un punto cualquiera (x,y) , ya sea yN (es decir, ψ(y)Hn ) o yN (es decir, ψ(y)Hn . Ahora, Hn:={(x1,,xn)Rn|xn=0} . Así, (Rm×Hn)=Rm×Hn . Utilice esto para demostrar que M1×N=M1×N .

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"Usando el resultado más simple de que el producto contable de las variedades suaves (sin límites) es una variedad suave" seguramente quieres decir producto finito.

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Sí, haré la edición. Supongo que no se puede hablar de productos contables si se llevan gráficos a Rn donde nN como la definición.

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