Utilizando el resultado más sencillo de que los productos finitos de las variedades suaves (sin límites) son variedades suaves, su problema puede reducirse al caso en que k=1 .
Ahora, dado cualquier punto (x,y)∈M1×N existe un gráfico (U,ϕ) en x en el atlas de M1 y un gráfico (V,ψ) en y en el atlas de N . Ahora, U×V es una vecindad de (x,y) en la topología del producto, y el mapa ϕ×ψ es un homeomorfismo de U×V a Rm×Hn . Observando que Hn:={(x1,…,xn)∈Rn|xn≥0} tenemos Rm×Hn=Hm+n . Utilice esto para demostrar que M1×N es un colector con límite.
Para la segunda parte, dado un punto cualquiera (x,y) , ya sea y∈∂N (es decir, ψ(y)∈∂Hn ) o y∉∂N (es decir, ψ(y)∉∂Hn . Ahora, ∂Hn:={(x1,…,xn)∈Rn|xn=0} . Así, ∂(Rm×Hn)=Rm×∂Hn . Utilice esto para demostrar que ∂M1×N=M1×∂N .