Cuando$X$ es homeomorfo a$X \times \mathbb{N}$?

Question

¿En qué condiciones$X$ es homeomorfo a$X \times \mathbb{N}$? Donde$\mathbb{N}$ es el espacio discreto.

Answer 1

Sea$X = \bigsqcup_{i \in \mathbb{N}} X_{i}$ la unión disjunta de muchos subespacios contablemente y cada$X_{i} \approx X$, entonces$X \approx X \times \mathbb{N}$. Por otro lado, si$X \approx X \times \mathbb{N}$ entonces$X$ puede ser particionado en muchos muchos suscriptores clopen de$X$ cada uno es homeomorfo a$X$ que es equivalente a% #% Es la unión disjunta de muchos subespacios contados cada uno de ellos es homeomorfo a$X$.

Answer 2

Es cierto que si $X\approx X\times\mathbb N$, $X$ es distinto de la unión de countably muchos de los subespacios. Sin embargo, el recíproco no es cierto! He aquí un contraejemplo: $E=\mathbb ({-2},{-1})\cup\mathbb N$. Todos menos uno de los componentes conectados de $E$ son los únicos. El mismo no puede ser dicho de $E\times\mathbb N$.

He aquí una más probabilidades de reclamación, que puede o no considerar trivial: $X\approx X\times\mathbb N$ si y sólo si $X\approx Y\times\mathbb N$ espacio $Y$. Usted puede pensar en esto como una fórmula que genera todos los espacios con la propiedad deseada. Puedes probarlo?

Tal vez el más interesante: $X\approx X\times\mathbb N$ si y sólo si $X\approx A\times B$ donde $A$ es un espacio topológico y $B$ es un infinito discreto espacio topológico.