Potencias de matrices: si$A^3 = A$, ¿cómo podemos mostrar que$A^{27}= A$?

Question

Suponer que $A^3 = A$. ¿Cómo podemos mostrar que$A^{27}= A$?

Cualquier orientación sería muy apreciada.

¿Es suficiente o correcto escribir que:$$A^9=(A^3)^3=(A)^3= A \implies A^{27}= (A^9)^3 = (A)^3=A ?

Answer 1

Sí, es suficiente y correcta de escribir lo que has escrito!

Si usted está en duda, la razón por la que esto funciona es que la matriz producto $A\times B$ es una operación binaria asociativa. Esto significa que usted puede definir $A^n$ para todos los enteros $n\geq 1$ por inducción, y se puede demostrar que la costumbre de las identidades de espera: $A^{n+m}=A^nA^m$$A^{nm}=(A^n)^m$. Desde la matriz de identidad $I$ es el elemento de identidad para la multiplicación de la matriz, usted puede incluso definir $A^0=I$ y compruebe que las identidades siguen manteniendo. De hecho, si $A$ tiene una inversa $A^{-1}$, entonces usted puede definir $A^n$ para todos los enteros $n$, y las identidades aún se mantenga!

Edit: permítanme ampliar sobre esto, porque no fue brevemente un engañosa respuesta aquí. (Desde entonces se elimina). ¿Cuál es la relación entre los números de $27$ $3$ que nos permite concluir $A^3=A\implies A^{27}=A$? Una fácil relación, que usted ha observado, es que el $27$ es la tercera potencia de $3$, por lo que podemos aplicar la anterior ecuación tres veces para obtener la segunda ecuación.

Pero hay otra relación, lo cual es aún más útil en general: $27-1=26$ es un múltiplo de a $3-1=2$. Que nos permite argumentar que $A^{27}=A^{25}=A^{23}=\cdots=A^3=A$. Esto no es una coincidencia! Cada vez que un entero $b$ es una potencia de un número entero $a$, lo $b=a^n$, $a-1$ divide $b-1$. De hecho: $$(b-1)=(a^n-1)=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1).$$

Así que usted puede ver, la relación de poder que se desprende de la relación de divisibilidad.

Por último, a la dirección de la engañosa respuesta directa: Sí, lo que ocurre es que $27$ es divisible por $3$. Sin embargo, ese es un arenque rojo. No es generalmente suficiente para $b$ a un múltiplo de $a$. Considere el caso en que $A=-1$ $1\times1$ matriz. A continuación,$A^3=A$, pero $A^6\neq A$.