Conjuntos de niveles de una función continua

Question

Sea$f$ continuo en un subconjunto compacto$X$ de un espacio métrico. Si ponemos$A_h=\{x\in X:f(x)<h\}$ y$B_h=\{x\in X:f(x)\leq h\}$ - cuando es cierto que$B_h = \overline{A_h}$? ¿Es cierto si y sólo si$A_h$ no está vacío?

Editado: Theo ya mostró que hay contraejemplos. ¿Es cierto entonces que$A_h = B_h^\circ$?

Answer 1

A petición de Ilya, estoy publicando mi segundo ejemplo como respuesta.

\ Vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ $X = [-N,N]$\ Overline {A_h} = B_h$$f(x) = $$\begin{cases}x &\text{if }x \leq 0,\\0 &\text{if }x \gt 0.\end{cases}$$ $A_h = (B_h) ^ {\ circ}$ en general.