¿Qué es$\frac{x^{10} + x^8 + x^2 + 1}{x^{10} + x^6 + x^4 + 1}$ dado$x^2 + x - 1 = 0$?

Question

Dado que$x^2 + x - 1 = 0$, lo que es$$V \equiv \frac{x^{10} + x^8 + x^2 + 1}{x^{10} + x^6 + x^4 + 1} = \; ?$ $

He reducido$V$ a$\dfrac{x^8 + 1}{(x^4 + 1) (x^4 - x^2 + 1)}$, si usted quisiera saber.

Answer 1

SUGERENCIA: Tenga en cuenta que$$\color{Green}{x^2=-x+1}.$ $ Mediante la multiplicación de la expresión dada por$x,$ podemos obtener$$\color{Green}{x^3=2x-1}.$$ Again by multiplying $ x$ we have $$\color{Green}{x^4=-3x+2}$ $ y así sucesivamente. .

Answer 2

$$x^2=1-x$ $$$x^4=(1-x)^2=x^2-2x+1=1-x-2x+1=2-3x$ $$$x^6=(1-x)(2-3x)=3x^2-5x+2=3(1-x)-5x+2=5-8x$ $$$x^8=(2-3x)^2=9x^2-12x+4=9(1-x)-12x+4=13-21x$ $ Por lo tanto, su ecuación =% #% $% ps

Answer 3

Aplicando polinomio de división larga, tenemos

$ \begin{array}{rlllllllllll} &~~1x^8-1x^7+3x^6+\dots\\ \hline x^2+x-1&|x^{10}+0x^9+x^8+0x^7+0x^6+0x^5+0x^4+0x^3+1x^2+0x+1\\ &~x^{10}+x^9-x^8\\ \hline &~~~~~-x^9+2x^8+0x^7\\ &~~~~~-x^9-x^8+x^7\\ \hline &~~~~~~~~~~~~~~~~~3x^8+\dots\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots \end {array} $

Llegando finalmente a$$x^{10}+x^8+x^2+1\\=(x^8-x^7+3x^6-4x^5+7x^4-11x^3+18x^2-29x+48)(x^2+x-1)+49-77x\\=49-77x$ $

Similarmente, aplicando la división polinómica larga al denominador, se simplifica

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Así, la fracción en general se simplifica

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Answer 4

ps

ps

ps

No fue $$\frac{x^{10} + x^8 + x^2 + 1}{x^{10} + x^6 + x^4 + 1} =\dfrac{(x^2+1)(x^8+1)}{(x^4+1)(x^6+1)}$

Ahora $$=\dfrac{\left(x+\dfrac1x\right)\left(x^4+\dfrac1{x^4}\right)}{\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)\left(x^3+\dfrac1{x^3}\right)}$

¿Puedes tomarlo de aquí?

Answer 5

Otro enfoque es observar lo siguiente

$$ \begin{align} x^2&=1-x\\ x^4&=(1-x)^2=1-2x+1-x&=2-3x\\ x^6&=(2-3x)(1-x)=2-5x+3(1-x)&=5-8x\\ x^8&=(5-8x)(1-x)=5-13x+8(1-x)&=13-21x\\ x^{10}&=(13-21x)(1-x)=13-34x+21(1-x)&=34-55x \end {align} $$

Nuestra fracción se convierte en

ps