Convergencia de Secuencias

Question

Me llegó a través de los siguientes problemas en la convergencia de las secuencias durante el curso de mi auto-estudio de análisis real:

Supongamos $a_n \to a$. Definir $$s_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k$$ Prove that $s_n \$.

Por lo $(a_n-a)$ es un valor nulo de la secuencia. Quiero mostrar que la $(s_n-a)$ es un valor nulo de la secuencia. Por un ejercicio anterior, sé que $(x_n)$ es una secuencia null $\implies$ $(y_n)$ es un null secuencia donde $y_{n} = (x_1+ \cdots+ x_n)/n$. Entonces, ¿podemos hacer algo análogo a la "adición de $a$ a ambos lados" para obtener el resultado deseado?

Mostrar que la secuencia de $$a_n = \left(1- \frac{1}{2} \right) \left(1- \frac{1}{3} \right) \cdots \left(1- \frac{1}{n+1} \right)$$ es convergente.

Así $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{1}{3}, \dots, a_n = \frac{1}{n+1}$. Así que suponemos que $(a_n)$ es un valor nulo de la secuencia. En otras palabras, para cada $\epsilon >0$, $|a_n| \leq \epsilon$ para todos los $n>N$. Deje $\epsilon = \frac{1}{n}$. Elija $N = n+1$. A continuación, la convergencia de la siguiente manera?

Demostrar que la secuencia $$a_n = \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{n+n}$$ is convergent to a limit $\leq 1$.

Por lo $a_{n} < a_{n+1}$ todos los $n$. Entonces la necesidad de demostrar que está acotada arriba por $1$. Para mostrar esto debería de considerar la $(1-a_n)$? Todos los términos se $<1$.

Answer 1

Tienes la primera: Si$x_n = a_n - a$ entonces$y_n = \frac{1}{n} \sum x_n = s_n - a$.

Y el segundo es un producto telescópico y tienes que también.

Para el tercero: Sugerencia:$\frac{1}{n+5} \lt \frac{1}{n+4}$

Spoiler

Tenemos$\frac{1}{n+k} \le \frac{1}{n+1}$ para$k \ge 1$ y por lo tanto$a_n \le \frac{n}{n+1} \lt 1$

Answer 2

Para la última secuencia, podría utilizar el hecho de que

ps

Tome los logaritmos de esta desigualdad, y obtendrá algunos límites telescópicos para$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n <e <\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$.