Resolviendo la ecuación de Laplace con transformada de Fourier

Question

Estoy tratando de resolver $$u_{xx}+u_{yy}=0$$ where $-\infty < x <\infty$ and $0<y<1$, subject to $$u(x,0) = H(x)e^{-x}$$ $$u(x,1) = 0$$ where $H(x)$ es la función escalón unitario.

Después de la aplicación de transformar en $x$, me sale que la transformada solución es $U(\omega,y) = A(\omega)e^{\omega y}+B(\omega)e^{-\omega y}$, y, las condiciones de frontera se convierten $$U(\omega,0) = \frac{1}{1+i\omega}$$ $$U(\omega,1) = 0$$

Después de la aplicación de estos, me quedo pegado con $$B(\omega) = \frac{e^\omega}{2(1+i\omega)\sinh(\omega)}$$ and $$A(\omega) = \frac{1}{1+i\omega}\left(1-\frac{2e^{\omega}}{\sinh(\omega)}\right)$$

Sin embargo, el uso de este en la solución anterior y tratando de invertir esto me lleva a ninguna parte. No estoy muy seguro de cómo proceder. Cualquier ayuda u orientación sería genial.

Answer 1

Después de aplicar las condiciones de frontera, nos encontramos con que

$$A(\omega)=-\frac{e^{-\omega}}{2(1+i\omega)\sinh(\omega)}$$

$$B(\omega)=\frac{e^{\omega}}{2(1+i\omega)\sinh(\omega)}$$

Entonces, aplicando la transformada de Fourier inversa de la transformación, se obtiene

$$u(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega x} \frac{\sinh(\omega(1-y))}{(1+i\omega)\sinh(\omega)}\,d\omega \tag 1$$

Para evaluar la integral en $(1)$, podemos utilizar el contorno de la integración. Tomamos nota de que el integrando tiene polos en $\omega =i$ y $\omega =in\pi$, $n\ne0$.

Acompañando en el contorno de la mitad superior del plano al $x>0$, la aplicación del teorema de los residuos de los rendimientos

$$u(x,y)=\frac{e^{-x}\sin(1-y)}{\sin(1)}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^ne^{-n\pi x}\sin(n\pi (1-y))}{n\pi -1}$$

Adjuntando el contorno de la parte inferior de la mitad de avión al $x<0$, la aplicación del teorema de los residuos de los rendimientos

$$u(x,y)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n e^{n\pi x}\sin(n\pi (1-y))}{n\pi +1}$$

Answer 2

Separación de variables se puede trabajar. Suponiendo acotamiento de los separados soluciones en el $x$ dirección $$ X_{\lambda}(x)=C(\lambda)e^{i\lambda x},\;\; Y_{\lambda}(y)= a(\lambda)\sinh(\lambda y)+B(\lambda)\cosh(\lambda y). $$ Debido a que usted desee $Y_{\lambda}(0)=0$, $Y_{\lambda}$ puede ser escrito como $$ Y_{\lambda}(y) = D(\lambda)\sinh(\lambda(1-y)) $$ "Sumar" los separados soluciones y peinado constantes ofrece un desconocido coeficiente de la función $c(\lambda)$ tal que $$ u(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}c(\lambda)e^{i\lambda x}\sinh(\lambda(1-y))d\lambda. $$ El coeficiente de la función $c(\lambda)$ está determinado por la condición de $u(x,0)=H(x)e^{-x}$: $$ H(x)e^{-x}=\int_{-\infty}^{\infty}c(\lambda)e^{i\lambda x}\sinh(\lambda)d\lambda $$ La aplicación de la transformada de Fourier da $c(\lambda)\sinh(\lambda)$: $$ \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\lambda x}dx =c(\lambda)\sinh(\lambda) \\ \frac{1}{2\pi(1+i\lambda)} = c(\lambda)\sinh(\lambda) $$ Por lo tanto, $u(x,y)$ es $$ u(x,y)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\lambda x}\frac{\sinh(\lambda(1-y))}{(1+i\lambda)\sinh(\lambda)}d\lambda. $$