Generalización de la serie para$\frac{\pi^2}{6}$? ¿Hay una prueba más elemental?

Question

En la misma línea:

$ \frac{\pi ^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} \cdots $

Comenzando con:

$ \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 -\frac{q^2}{n^2} \right) = \frac{\sin(\pi q)}{\pi q}$

Me he dado cuenta de que:

$ - \frac{\pi ^2}{3!} = \displaystyle \sum_{j_1=1}^{\infty} -j_1^{-2} $

$ \frac{\pi ^4}{5!} = \displaystyle \sum_{j_1,j_2=1 \atop j_1 \neq j_2}^{\infty} (j_1j_2)^{-2}$

$ - \frac{\pi ^6}{7!} = \displaystyle \sum_{j_1,j_2,j_3=1 \atop j_i \neq j_k} - (j_1j_2j_3)^{-2}$

$ \vdots $

$ \frac{\pi ^{2n}}{(2n+1)!} = \displaystyle \sum_{j_1,...j_n=1 \atop j_i \neq j_k}^{\infty} (j_1j_2...j_n)^{-2}$

$ \vdots $

(Los pasos que se muestran aquí: http://www.futurebird.com/?p=156 )

Es allí una manera más directa para llegar al mismo resultado que evita una alta potencia como el teorema de Weierstrass teorema de la factorización de ... que es lo que yo uso.

Yo estoy disfrutando de jugar con estos conceptos así que también me gustaría leer las recomendaciones.

Answer 1

Este es un ejemplo de un Múltiplo de Zeta Valor, es decir,$\zeta (2,2,2,\cdots,2)$. En la página

http://www.usna.edu/Users/math/meh/mult.html

hay varias relaciones satisfecho por tales MZVs. Por ejemplo,

$\zeta (2,2,2,2, \cdots) = (2n + 1) \zeta (3,1,3,1,\cdots)$

donde hay $2n$ copias de $2$ a la izquierda, y $n$ bloques de $(3,1)$ a la derecha. Así, por $n = 1$ tenemos $\zeta (3,1) = 2 \pi^4 / 6!$. Una buena referencia para esto es

http://www.combinatorics.org/Volume_5/PDF/v5i1r38.pdf

lo que dice en general que

$\zeta (\{ 3,1 \}^{n}) = \frac{2 \pi^{4n}}{(4n + 2)!}$