Encuentra el rango de: $$y=\sqrt{\sin(\log_e\frac{x^2+e}{x^2+1})}+\sqrt{\cos(\log_e\frac{x^2+e}{x^2+1})}$$
Lo que he probado:
Déjalo: $$\log_e\frac{x^2+e}{x^2+1}=X,$$ puis $$y=\sqrt {\sin X}+\sqrt{\cos X}$$ $$y_{max}at X=\pi/4$$
El resto es demasiado complicado. Estoy atascado.
¿Puede alguien dar una solución analítica?
Incluso Wolfram alfa no ayuda.
A problema relacionado . En primer lugar, estudiamos la expresión
$$ \frac{x^2+e}{x^2+1}=1+\frac{e-1}{x^2+1} \longrightarrow_{|x|\to\infty} 1, $$
lo que implica $ y(x)\longrightarrow_{|x|\to \infty} 0 $ . Para encontrar el máximo de la función $y(x)$ Estudiemos la función
$$ h(t)=\sqrt{\sin(t)}+\sqrt{\cos(t)}. $$
El máximo de la función anterior se alcanza en $t=\frac{\pi}{4}$ que se puede demostrar con la prueba de la derivada. Por lo tanto, esto implica que nuestra función alcanza su máximo cuando
$$ \ln\left( \frac{x^2+e}{x^2+1} \right)=\frac{\pi}{4} \implies x=0.6632987771, -0.6632987771. $$
Al volver a introducir la función y(x) se obtiene el máximo, que es $y=1.681792830$ . Así que el rango es
$$ 1 < y \leq 1.681792830.$$
Nota: Puede resolver $ \ln\left( \frac{x^2+e}{x^2+1} \right)=\frac{\pi}{4} $ fácilmente como,
$$ \ln\left( \frac{x^2+e}{x^2+1} \right)=\frac{\pi}{4}\implies \frac{x^2+e}{x^2+1} =e^{\frac{\pi}{4}}\implies x^2+e= e^{\frac{\pi}{4}}x^2+ e^{\frac{\pi}{4}}=\dots.$$
Creo que puedes terminarlo.
Dejar $f(x)=\frac{x^2+e}{x^2+1} \to 1<f(x)\le e \to 0<X\le 1$
$y^2=sinX+cosX+\sqrt{2sin2X}=\sqrt{2}\left(sin(X+\dfrac{\pi}{4})+\sqrt{sin2X}\right)$
cuando $0<X<\dfrac{\pi}{4}$ , $sin2X$ y $sin(X+\dfrac{\pi}{4})$ son monotemáticos, $\to y^2>1 \to y>1$
He dejado otra parte para que la discutáis y ahora deberíais poder averiguar el rango.
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