Problema de extensión de campo más allá$\mathbb C$

Question

Hay muchos campos entre$\mathbb C$ y Funciones Meromórficas en$\mathbb C$. Por ejemplo, el conjunto de "Todas las funciones meromorfas parciales en$\mathbb C$" es un subcampo entre$\mathbb C$ y Funciones meromórficas en$\mathbb C$.

Pregunta: ¿Cómo clasificar tales subcampos?

No tengo idea de si alguien estudió esto o no. Si alguien me da alguna referencia será útil para mí.

Answer 1

El campo de meromorphic funciones en $\mathbb{C}$ es enorme, así que no esperamos que esta pregunta tiene una razonable respuesta general. Uno se podría preguntar acerca de los campos entre el $\mathbb{C}$ y meromorphic funciones en la esfera de Riemann; estas son sólo las funciones racionales $\mathbb{C}(x)$.

Desde $\mathbb{C}$ ya es algebraicamente cerrado, cualquier no-trivial de campo entre el $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}(x)$ necesariamente tiene trascendencia grado $1$. Un campo de $F$ necesariamente se encuentra entre el $\mathbb{C}(x)$ $\mathbb{C}(f)$ para algunos $f \in \mathbb{C}(x)$. $\mathbb{C}(x)$ es siempre un número finito de extensión de $\mathbb{C}(f)$ (ejercicio), por lo que la inclusión $F \to \mathbb{C}(x)$ corresponde en la forma estándar a un ramificada portada del compacto de las superficies de Riemann (equivalentemente, suave proyectivas de las curvas algebraicas sobre $\mathbb{C}$) $$\mathbb{CP}^1 \to S$$

donde $S$ es la superficie de Riemann con la función de campo de $F$. Por Riemann-Hurwitz, esto sólo puede ocurrir si $S \cong \mathbb{CP}^1$, por lo tanto podemos elegir $f$, de modo que $F \cong \mathbb{C}(f)$. Así, todos los que no son triviales subcampos de $\mathbb{C}(x)$ son de la forma $\mathbb{C}(f)$ para algunos la función racional $f$.

Por otro lado, $\text{Aut}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}(x))$ es un grupo interesante; explícitamente se compone de todas las transformaciones de Möbius $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}, ad - bc \neq 0$ y en abstracto es $\text{PGL}_2(\mathbb{C}) \cong \text{PSL}_2(\mathbb{C})$, la proyectiva especial lineales grupo en $2$ dimensiones a lo largo de $\mathbb{C}$. El campo fijo de cualquier subgrupo de $\text{PGL}_2(\mathbb{C})$ es por lo tanto un subcampo de la $\mathbb{C}(x)$. Especial entre estos están los subgrupos finitos. Por un promedio argumento de cada una de estas están contenidas en el proyectiva especial grupo unitario $\text{PSU}_2$, que es bien conocido para ser isomorfo a $\text{SO}(3)$, y los subgrupos finitos de este son (más o menos) los grupos de simetrías de los sólidos Platónicos. El estudio de los subgrupos finitos de cualquiera de las anteriores relacionados con los grupos es bastante fascinante; una entrada en el estudio adicional es las diferentes respuestas en este MO hilo.