Definición de grupos

Question

Esta parece una pregunta muy básica, pero me tiene confundido. Cuando se define un grupo que presente la unidad el elemento $e$ que tiene la siguiente propiedad $$ge = eg = g \quad \forall g\in G$$

y luego a la inversa para lo cual se necesita la unidad:

$$gg^{-1} =g^{-1}g = e$$

Es posible hacerlo de la otra manera? Podemos construir la unidad de los elementos de la inversa? Yo creo que no, pero no he encontrado un argumento convincente, salvo que se use la unidad en la definición de la inversa. Pero tal vez es pensable para concebir una forma completamente diferente.

Answer 1

Supongo que podría hacerlo.

Común de reducción de la misma es tener en cuenta que sólo se necesita un operador, $g\star h = g\cdot h^{-1}$. A continuación, usted puede declarar sus axiomas en términos de $e=h\star h$, $h^{-1}=e\star h$ y $gh=g\star h^{-1}$. Pero los axiomas llegar a ser bastante ruidoso, y hay razones profundas que nos gusta hablar asociativo de las operaciones.

Así que si usted tiene un conjunto $G$ con una operación binaria $\star$ con las siguientes propiedades:

1. $G$ es no vacío
2. Para todos $h,g\in G$, $h\star h=g\star g$. A partir de aquí, vamos a escribir $e=h\star h$.
3. $e\star(e\star h)=h$, $h\star e=h$.
4. $h_1\star (h_2\star h_3)=(h_1\star (e\star h_3))\star h_2$.

Una vez que usted tiene una operación de ese tipo, puede definir d$g^{-1}=(g\star g)\star g$$g\cdot h=g\star h^{-1}=g\star((h\star h)\star h)$.

Una difícil cosa es que, sin el requisito de una identidad, usted va a necesitar para afirmar que $G$ no está vacía.

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Hay una profunda razón teórica que preferimos hablar asociativo de las operaciones en primer lugar, sin embargo. El más fundamental asociativa operación es función de la composición. Deje $X$ ser un conjunto, y deje $([X\to X],\circ)$ ser el conjunto de todas las funciones de $X$ a sí mismo, con la operación $\circ$ en función de la composición. $\circ$ es una operación asociativa.

Resulta, si $(S,\times)$ es cualquier conjunto con una operación asociativa, entonces es equivalente a (isomorfo) a algunos de los sub-álgebra de una $([X\to X],\circ)$ algunas $X$. (Siempre se puede usar la $X=S\sqcup\{I\}$, de hecho.) Esas "representaciones" de $(S,\times)$ son de un profundo hecho común en muchas de las matemáticas, que está relacionado con algo que se llama "la categoría de la teoría".

Esto también indica la razón por la que la identidad es más primitivo que el de los inversos.

$([X,X],\circ)$ siempre tiene una identidad (a pesar de $(S,\times)$ no). Por lo que es fácil "agregar" una identidad a $S$.

Sin embargo, si $|X|>1$, algunos elementos de la $[X,X]$ no tienen inversas, y si intenta agregar inversas y mantener la asociativo regla general, usted termina haciendo algo mucho más complicado que simplemente "agregar" elementos de a $S$.

Answer 2

Es posible hacerlo de la otra manera?

Más o menos, sí. Un semigroup $S$ es un grupo si y sólo si para todos $a\in S$, $$aS=S=Sa.$$ Esto es algo así como tener la recíproca primera. Supongo que vale la pena señalar que esta definición utiliza ni la identidad, ni la recíproca.

Sin embargo, uno podría decir que para definir un proceso inverso, en primer lugar, usted necesita una identidad.

Habiendo dicho eso, usted podría ser capaz de encontrar una definición de un grupo como un tipo especial de inversa semigroup. La recíproca existen en inversa semigroups cuando una identidad incluso podría no existir. Un inverso $b$ de un elemento $a$ de una inversa semigroup es un elemento que $$a=aba$$ and $$b=bab.$$

Answer 3

La idea de la inversa de los elementos, como tal, exige lógicamente la noción de un elemento de identidad con respecto a que la recíproca puede ser definido, pero no son resultados parciales en la dirección que usted sugiere.

Una manera de abordar esto es definir, para un semigroup (asociativa de magma) $S$, un cuasi-inverso de un elemento $a\in S$ a ser un elemento $a^\ast\in S$ que $aa^{\ast}a = a$. Es entonces el caso de que si cada elemento de a $S$ tiene una única cuasi-inversa, a continuación, $S$ es un grupo. Elegimos un elemento $a$ $S$ y muestran que $aa^\ast$ es, de hecho, un elemento de identidad para $S$ $x^\ast$ es una inversa de cada una de las $x\in S$. (Unicidad de cuasi-la recíproca es esencial aquí, como el conjunto de todas las matrices cuadradas sobre un campo que no es único cuasi-inversas, en virtud de la multiplicación de la matriz, pero está claro que no es un grupo.)

Answer 4

Puede reemplazar el axioma del neutro y el elemento inverso por el axioma siguiente:

Para todos$a,b \in G$ cada una de las siguientes ecuaciones tiene una solución única. De este axioma se puede deducir la existencia de un elemento neutro y los elementos inversos.