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Teorema fundamental de la prueba de grupos abelian finito

¿Alguien puede dar una prueba de la "parte técnica" de la siguiente prueba?

Una dirección parece bastante trivial, pero los otros estoy teniendo problemas con. ¿Por qué importa que el subgrupo $H$ elegimos es máximo?enter image description here

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Robert Petz Puntos 118

No estoy seguro de si este enfoque funciona, pero se puede tratar:

Supongamos $\left\langle g\right\rangle H\neq G$. Entonces existe un $x\in G\setminus \left\langle g\right\rangle H$. Deje $H'$ denotar el más pequeño subgrupo de $G$ contiene $H$$x$. Por maximality de $H$, $H'\cap \left\langle g\right\rangle\neq \left\{e\right\}$. Por lo tanto existe una no-trivial $y\in G$ tal que $y\in H'\cap \left\langle g\right\rangle$. Desde $G$ es conmutativa, esto implica que podemos escribir $y=hx^i$ algunos $h\in H$ y algunos $i\neq 0$ (de lo contrario $y\in H\cap \left\langle g\right\rangle=\left\{e\right\}$), y $y=g^n$ algunos $n$. Por lo tanto $g^n=hx^i$ e lo $x^i=g^nh^{-1}\in \left\langle g\right\rangle H$.

Se puede concluir de esto que el $x\in \left\langle g\right\rangle H$? Que sería una contradicción.

Edit: Aquí está un nuevo intento: Aviso que $\left\langle g\right\rangle\cap H=\left\{e\right\}$. Ahora considere el $G/H$.Para cada una de las $x\in G$ denotamos por a $\bar{x}$ a la clase correspondiente en $G/H$. Pretendemos que $|\bar{g}|=|g|=p^m$ (aquí se $|x|$ es el orden de un elemento). Supongamos que $|\bar{g}|<p^m$. A continuación,$\bar{g}^{p^{m-1}}=\bar{e}$, por lo tanto $g^{p^{m-1}}\in H$. Pero, a continuación, $g^{p^{m-1}}\in \left\langle g\right\rangle\cap H=\left\{e\right\}$ contradice el hecho de que $|g|=p^m$. Por lo tanto $|\bar{g}|=p^m$. De ello se deduce que el orden de $\bar{g}$ es máxima en $G/H$.

Por la hipótesis de inducción $G/H\cong \mathbb{Z}_{p^m}\times K$ donde $K$ es un producto cíclico de los grupos. Ahora consideremos el subgrupo $L:=\left\{x\in G\mid \bar{x}\in K\right\}$. A continuación, $|L|=p^i|K|$ algunos $i$, en el hecho de $|L|=|H||K|$ (żpor Qué?). Supongamos que $x\in \left\langle g\right\rangle\cap L$, $\bar{x}\in \left\langle \bar{g}\right\rangle\cap K=\left\{\bar{e}\right\}$ (por Qué?), y por lo tanto $x\in H$, por lo tanto $x\in \left\langle g\right\rangle\cap H=\left\{e\right\}$. Nos demostró que $\left\langle g\right\rangle\cap L=\left\{e\right\}$.

Por lo tanto $|\left\langle g\right\rangle L|=|\left\langle g\right\rangle||L|=p^i(|\left\langle \bar{g}\right\rangle||K|)=|H||G/H|=|G|$. Por maximality de $H$ definitivamente, necesitamos que $|\left\langle g\right\rangle H|=|G|$ lo cual muestra la reclamación.

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Guverkal Puntos 1

H es un subgrupo de (g) H. Máxima no es ningún subgrupo entre H y G. Así que (g) H = G. Si cada elemento, decir, en G puede ser representado como un = hg ^ m, donde h es en H y g ^ m es en (g). Ahora usted puede definir fácilmente su isomorfismo. Tenga en cuenta que H (g) no es igual a H, ya que su intersección es un conjunto vacío

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