Una desigualdad casi clásica

Question

Es un ejercicio clásico para probar que $e^\pi>\pi^e$. Pero... ¿hay una manera de probar $\sin(e^\pi)<\sin(\pi^e)$ sin calculadora?

Estaba tratando de probar $13\pi/2<\pi^e$ $e^\pi<15\pi/2$ y uso monótona decreciente propiedad y de $\sin$ $[13\pi/2,15\pi/3]$, pero no pude probar las desigualdades pasadas.

Answer 1

En primer lugar, vamos a demostrar que $\frac{13\pi}{2}<\pi^e$.

Sabemos que $$e>\frac{19}{7}$$

debido a que la integral

$$\frac{1}{14}\int_0^1 x^2(1-x)^2e^xdx = e-\frac{19}{7}$$

ha positiva integrando.

Tratemos de usar $$\frac{25}{8}<\pi<\frac{22}{7}$$

para transformar la desigualdad

$$\frac{13\pi}{2}<\pi^e$$

en una más estricta con números enteros sólo

$$\frac{13}{2}\frac{22}{7}=\frac{143}{7}<\left(\frac{25}{8}\right)^\frac{19}{7}$$

Este se transforma en $$143^7·8^{19} < 25^{19}·7^7$$ o el largo $$176222766583426849287556934139904 < 299603198072873055934906005859375$$

lo que demuestra $\frac{13\pi}{2}<\pi^e$.

Para $e^\pi<\frac{15\pi}{2}$

Deje que nosotros se aplican logaritmos a ambos lados, para obtener el equivalente a la desigualdad

$$\pi < \log\frac{15\pi}{2}$$

Ahora uso la desigualdad $$\frac{25}{8}<\pi < \frac{22}{7}$$

para escribir la más estricta desigualdad

$$\frac{22}{7} < \log{\frac{3·5^3}{2^4}} = \log(3)+3\log(5)-4\log(2)$$

Ahora tenemos límites inferiores para $\log(3)$ $\log(5)$ y un límite superior para $\log(2)$, debido a los diferentes signos en cuestión.

Considere el siguiente ternario BBP-tipo de serie para $\log(3)$ $\log(5)$ $$\log(3)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{9^{k+1}}\left(\frac{9}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}\right)$$

$$\log(5)=\frac{4}{27}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{81^k}\left(\frac{9}{4k+1}+\frac{3}{4k+2}+\frac{1}{4k+3}\right)$$

Tomando los dos primeros términos de los rendimientos de las desigualdades

$$log(3)>\frac{355}{324}$$

y

$$log(5)>\frac{13688}{8505}$$

Una cota superior para $\log(2)$ puede ser tomado de la Dalzell de tipo integral $$\int_0^1 \frac{x^3 (1 - x)^3}{8 (1 + x)} dx = \frac{111}{160} - \log(2)$$

por lo $$log(2)<\frac{111}{160}$$

El resultado más estricta desigualdad

$$\frac{22}{7} < \frac{355}{324} + 3\frac{13688}{8505}-4\frac{111}{160}$$

se comprueba fácilmente, demostrando así

$$e^\pi < \frac{15\pi}{2} $$

Answer 2

Para el primero,

$$\frac{13}2\pi<\pi^e$$

simplemente tenemos que demostrar que $\frac{13}2<\pi^{e-1}$. Tenga en cuenta que $e>\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}$ cortando la serie de taylor en $x=1$; esto significa

$$\pi^{e-1}>\pi^{1+1/2+1/6}=\pi^{5/3}=\pi^{2/3}\pi>3^{2/3}\pi$$

Ahora estamos a la izquierda para demostrar $\frac{13}2<3^{2/3}\pi$, que es equivalente a probar $\frac{13^3}{2^3}<3^2\pi$ o

$$\frac{13^3}{2^33^2}=\frac{2197}{72}<\pi^3$$

Ahora tenga en cuenta que $\frac{223}{71}<\pi$ ( $3+\frac{10}{71}$ . De acuerdo a Wikipedia, "En el 3er siglo A.C., Arquímedes demostró las grandes desigualdades $\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}$, por medio de regular $96$-ágonos"), lo que significa que

$$\pi^3>\frac{223^3}{71^3}=\frac{11089567}{357911}=\frac{2197\cdot5047+1308}{72\cdot 4971-1}>\frac{2197\cdot5047}{72\cdot 4971}>\frac{2197}{72}$$

Así que prueba a $\frac{13}{2}\pi<\pi^e$.

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Ahora, el segundo,

$$e^\pi<\frac{15}2\pi$$

Desde $\pi<\frac{22}{7}$, y la ya mencionada $\pi>\frac{223}{71}$ podemos demostrar la declaración original por probar

$$e^{22/7}<\frac{15}{2}\frac{223}{71}$$

que nos re-escribir a $e^{22/7}<\frac{3345}{142}$. Ahora tomando el logaritmo natural en ambos lados:

$$\frac{22}7<\log(3345)-\log(142)$$

Ahora tenga en cuenta que

$$\log(n)=\log(n)+H_n-H_n=H_n+\int_1^{n+1}\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac1x\right)\text{d}x$$

así que

\begin{align} \log(3345)&=H_{3345}+\int_1^{3346}\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac1x\right)\text{d}x\\ &>H_{3345}+\int_1^{143}\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac1x\right)\text{d}x\\ &=H_{3345}+\log(142)-H_{142} \end{align}

Así que

$$\log(3345)-\log(142)>H_{3345}-H_{142}=\sum_{k=143}^{3345}\frac1k$$

Así que todo lo que nos queda es probar

$$\frac{22}{7}<\sum_{k=143}^{3345}\frac1k$$

que es muy lento, pero puede ser hecho a mano. Usted sólo necesita calcular cada $\frac1k$ $6$ decimales (de ronda y de ahí para abajo, ya que es un límite inferior). $5$ decimal no es suficiente. También, usted sólo había necesidad de ir a hablar $3307$ en lugar de $3345$ pass $\frac{22}7$.