Encontrar el valor mínimo de la función

Question

Si $g(x) = \max|y^2 - xy|$ $0\leq y\leq 1$. ¿Es el valor mínimo de $g(x)$?

No estoy pudiendo proceder. Trató de dibujar el gráfico.

Answer 1

El cómputo de la función $g(x) = \max{|y^2 - xy|}$ es equivalente a resolver para el valor máximo de la expresión $|y^2 - xy| = f(y)$ con un parámetro fijo $x$. Imaginemos entonces que $x$ es una constante. En general, el valor máximo de una función (de una variable) pueden ser encontrados en

• Donde la derivada es igual a cero;
• Donde la derivada no está definida; o
• En los límites del dominio.

Vamos a ir a través de estos casos uno por uno. En primer lugar, queremos encontrar a $\frac{d f(y)}{dy}=0$. Para $y^2 - xy < 0$ el resultado es $y = \frac{x}{2}$, y para $y^2 -xy > 0$ no hay solución.

La derivada no está definida cuando $y^2 - xy = 0 \Rightarrow y= 0$ o $y = x$.

Los límites del dominio se define a ser$y = 0$$y = 1$.

La inserción de estos resultados en $f(y)$ nos da $f(\frac{x}{2}) = \frac{x^2}{4}$; $f(0)=f(x)=0$; $f(1)=|1-x|$. Necesitamos la mayor de ellas, que es

$g(x) = \begin{cases} \left| 1 - x \right| , \text{if} -2(1+\sqrt{2}) \leq x \leq 2(\sqrt{2}-1)\\ x^2/4 , \text{otherwise} \end{casos}$

Esto fue descubierto por la solución de la ecuación de $|1-x|>\frac{x^2}{4}$. El mínimo de $g(x)$ se puede encontrar en la $x= 2(\sqrt{2}-1)$,$g(2(\sqrt{2}-1)) = 1- 2(\sqrt{2}-1) = 3-2\sqrt{2}$.

Answer 2

El máximo para el cuadrado de una función no negativa es la Plaza de la máxima, así que encontrar el máximo (x fija) para z = |... | ^ 2 = (y ^ 2-xy) ^ 2 = y ^ 2(y-x) ^ 2 Esto se deshace del molesto valor absoluto. Ahora estudio z como una función de y para fijo x. Determinar donde es = dz/dx,-, 0 y esbozar la gráfica.

Answer 3

\begin{align*} &\text{First suppose %#%#%.}\\[6pt] &\text{Then}\;\;x < 0\\[4pt] &\implies\, y > x&&\text{[since %#%#%]}\\[4pt] &\implies\, y(y-x) \ge 0\\[4pt] &\implies\, y^2-xy \ge 0\\[4pt] &\implies\, g(x) = \max(y^2-xy)\\[4pt] &\qquad\qquad\qquad\;\;\text{(for %#%#%)}\\[4pt] &\implies\, g(x) = \max(0,1-x)&&\text{[no local max, so}\\[2pt] &&&\,\text{max must occur at %#%#% or %#%#%]}\\[4pt] &\implies\, g(x) = 1-x\\[12pt] &\text{Next suppose %#%#%.}\\[6pt] &\text{Then}\;\;1 < x \le 2\\[4pt] &\implies\, y < x&&\text{[since %#%#%]}\\[4pt] &\implies\, y(x-y) \ge 0\\[4pt] &\implies\, xy-y^2\ge 0\\[4pt] &\implies\, g(x) = \max(xy-y^2)\\[2pt] &\qquad\qquad\qquad\;\;\text{(for %#%#%)}\\[4pt] &\implies\, g(x) = \max(0,x-1,x^2/4)&&\text{[max occurs at}\\[2pt] &&&\,\text{%#%#%}\\[2pt] &&&\,\text{or%#%#% (critical point)]}\\[6pt] &\implies\, g(x) = x^2/4&&\text{[since %#%#%]}\\[12pt] &\text{Next suppose %#%#%.}\\[6pt] &\text{Then}\;\;x>2\\[4pt] &\implies\, y < x&&\text{[since %#%#%]}\\[4pt] &\implies\, y(x-y) \ge 0\\[4pt] &\implies\, xy-y^2\ge 0\\[4pt] &\implies\, g(x) = \max(xy-y^2)\\[4pt] &\implies\, g(x) = \max(0,x-1)&&\text{[max occurs at}\\[4pt] &&&\,\text{%#%#%}\\[4pt] &&&\,\text{(%#%#%)]}\\[4pt] &\implies\, g(x) = x-1\\[12pt] &\text{Next suppose %#%#%.}\\[6pt] &\text{Then by previous logic}\\[4pt] &\phantom{\implies\,} g(x) = \begin{cases} 1-x &\text{if}\;\;1-x \ge x^2/4\\[3pt] x^2/4 &\text{if}\;\;x^2/4 > 1-x \end{casos} \\[6pt] &\text {, Equivalentemente, para $x < 0$}\\[4pt] &\phantom{\implica\,} g(x) = \begin{cases} 1-x &\text{if}\;\;0 \le x \le 2\sqrt{2}-2\\[3pt] x^2/4 &\text{if}\;\;2\sqrt{2}-2 < x \le 1 \end{casos} \\[12pt] &\text{Recopilación de los resultados obtenidos hasta ahora}\\[6pt] &\phantom{\implica\,} g(x) = \begin{cases} 1-x &\text{if}\;\;x \le 2\sqrt{2}-2\\[3pt] x^2/4 &\text{if}\;\;2\sqrt{2}-2 < x \le 2\\[3pt] x-1 &\text{if}\;\;x >2 \end{casos} \\[12pt] &\text{Mirando a cada una de las $0 \le y \le 1$ piezas en vez},\\[2 pt] &\text{se sigue que $0 \le y \le 1$ es}\\[2 pt] &\phantom{\implica\,}{\small{\bullet}}\;\;\text{decreciente en el intervalo de $y=0$},\\[2 pt] &\phantom{\implica\,}{\small{\bullet}}\;\;\text{creciente en el intervalo $y=1$}\\[4pt] &\text{por lo tanto el valor mínimo de $1 < x \le 2$ es}\\[4pt] &\phantom{\implica\,}\;\,g(2\sqrt{2}-2)\\[4pt] &\phantom{\implica\,}=1 - \left(2\sqrt{2}-2\right)\\[4pt] &\phantom{\implica\,}=3 - 2\sqrt{2} \end{align*}