DIFERENCIAR

Question

Podría alguien ayudarme con esta pregunta:

Edición: Reducción a una de estas opciones sería genial!

Answer 1

Voy a suponer que todo está bien definida y real, sin prestar atención a si se toman logaritmos de los números positivos y tal.

Tenemos $y=a^{x^y}$ ( $y=(a^x)^y$ , lo que significaría $y=a^{{xa}^{{xa}^{\cdots}}}$). Permítanme indicar el operador de la derivada por $D$.

Primero vamos a necesitar un poco lema: Si $f$ $g$ son funciones de la $x$, luego $$ D(f^g) = De^{g\log(f)} = e^{g\log(f)}D(g\log(f)) = f^g(g'\log(f)+gf'/f). $$ (Hay una manera fácil de memorizar este. Si $f$ es constante, la derivada es $f^g\log(f)g'$. Si $g$ es constante, la derivada es $gf^{g-1}$. El pleno de la derivada es la suma de estos dos. Este argumento puede ser formalizada, pero sería un pozo de re-entrada aquí).

Aplicando esto a $f(x)=x$ $g(x)=y(x)$ da $$ D(x^y) = x^y(y'\log(x)+y/x). $$ Esto será útil pronto.

Tomando la derivada da \begin{align} y' &= D(a^{x^y}) \\&= a^{x^y}\log(a)D(x^y) \\&= y\log(a)D(x^y) %\\&= %y\log(a)[yx^{y-1}+\log(x)x^yy'] \\&= y\log(a)x^y[y/x+\log(x)y'] \\&= y\log(a^{x^y})[y/x+\log(x)y'] \\&= y\log(y)[y/x+\log(x)y'] . \end{align} Esto le da $$ [1-\log(x)y\log(y)]y' = y^2\log(y)/x, $$ a partir de la cual podemos resolver $$ y'=\frac{y^2\log(y)}{x[1-\log(x)y\log(y)]}. $$ Al parecer esto no coincide con ninguna de las opciones dadas. Aquí es una forma alternativa, el uso de $x^y=\log(y)/\log(a)$: $$ y'=\frac{y^2\log(y)}{x\left[1-\log\left(\frac{\log(y)}{\log(a)}\right)\log(y)\right]}. $$

Quizás echo de menos una manera de manipular la fórmula, o tal vez el problema es errónea; como otros han señalado, teniendo en $y=(a^x)^y$ conduce a la opción C.

Answer 2

\begin{align*} y&=a^{x^{a^{x\cdots}}}\\ \implies y&=a^{x^y}\\ \implies \ln y&=x^y\ln a\hspace{25pt}\cdots\text{(i)}\\ \implies \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}&=\ln a\cdot\dfrac{d}{dx}\left(x^y\right)\\ &=\ln a\cdot\dfrac{d}{dx}\left(e^{y\ln x}\right)\\ &=\ln a\cdot e^{y\ln x}\cdot\dfrac{d}{dx}(y\ln x)\\ &=\ln a\cdot x^y\cdot\left(\dfrac{y}{x}+\ln x\cdot\dfrac{dy}{dx}\right)\\ \implies \dfrac{dy}{dx}&=y\cdot x^y\ln a\cdot\left(\dfrac{y}{x}+\ln x\cdot\dfrac{dy}{dx}\right)\\ \implies \dfrac{dy}{dx}\left(1-y\cdot x^y\ln a\cdot\ln x\right)&=\dfrac{y^2}{x}\cdot x^y\ln a\\ \implies \dfrac{dy}{dx}\left(1-y\cdot\ln y\cdot\ln x\right)&=\dfrac{y^2}{x}\cdot\ln y\hspace{25pt}\text{ as from (i) }[x^y\ln a=\ln y]\\ \implies \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{y^2\ln y}{x\left(1-y\cdot\ln y\cdot\ln x\right)} \end{align*} por lo tanto, no coincide con ninguna respuesta.

Answer 3

Bloques de construcción: $ D\left (a^{t(x)}, x\right) = a ^ x \ln (a) t'(x), \qquad D\left (x ^ x, x\right) = x ^ x (1 + \ln(x)) $$

En primer lugar cadenas $$\begin{align} D\left( a^{x}, x\right) &= a^x \ln (a) \\ D\left( a^{x^{x}}, x\right) &= x^x a^{x^x} \ln (a) (\ln (x)+1) \\ D\left( a^{x^{x^{x}}}, x\right)&= a^{x^{x^x}} x^{x^x} \ln (a) \left(x^{x-1}+x^x \ln (x) (\ln (x)+1)\right) \\ D\left( \left( \left( \left( a^x \right)^x \right)^x \right)^x, x \right) &= \left(\left(\left(a^x\right)^x\right)^x\right)^x \left(x \left(x \left(\ln \left(a^x\right)+x \ln (a)\right)+\ln \left(\left(a^x\right)^x\right)\right)+\ln \left(\left(\left(a^x\right)^x\right)^x\right)\right) \end {Alinee el} $$