Encuentre $m\in\mathbb N$ , $n\in\mathbb N$ y $f(0)$ donde $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ $(a,b,c,d\in\mathbb Z)$ , $f(mn)=1$ , $f(m)=n^2$ , $f(n)=m^2$ , ...

Question

Pregunta: Encontrar $m\in\mathbb N$ , $n\in\mathbb N$ y $f(0)$ donde ( $m,n\gt 1$ )

1. $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ $(a,b,c,d\in\mathbb Z)$

2. $f(mn)=1$

3. $f(m)=n^2$

4. $f(n)=m^2$

5. $f(1)=m^2n^2$

Lo que probé hasta ahora fue: \begin{align} &f(mn)-f(1)=(mn-1)\left(a(m^2n^2+mn+1)+b(mn+1)+c\right)=(mn-1)(mn+1)\\ &\therefore a(m^2n^2+mn+1)+(b-1)(mn+1)+c=0\tag1\\ &f(m)-f(n)=(m-n)\left(a(m^2+mn+n^2)+b(m+n)+c\right)=(m-n)(m+n)\\ &\therefore m=n,\quad\text{or}\quad a(m^2+mn+n^2)+(b-1)(m+n)+c=0\tag2\\ &\\ &m\ne n:\\ &(1)-(2)\Rightarrow (m-1)(n-1)\left(a(m+1)(n+1)+(b-1)\right)=0\\ &b-1=-a(m+1)(n+1)\\ &(2)\rightarrow c=-a(m^2+mn+n^2)+a(m+1)(n+1)(m+n)\\ &d=m^2n^2-a-b-c=mn(mn-a(m+n))-1\\ &f(x)=ax^3-a(m+1)(n+1)x^2+x^2-a(m^2+mn+n^2)x+a(m+1)(n+1)(m+n)x+mn(mn-a(m+n))-1\\ & \end{align}

Y entonces me rendí...

Answer 1

Por 2., podemos utilizar el Teorema del factor escribir $$ f(x)-1=q(x)(x-mn) $$ para el polinomio $q$ con coeficientes enteros (y grado como máximo $2$ aunque eso no tiene nada que ver directamente con esta prueba).

De 3. se deduce que $$ n^2-1=q(m)(m-mn) $$ y así (puesto que $n>1$ ) $$ q(m)=\frac{n^2-1}{m-mn}=-\frac{n+1}{m} $$ Del mismo modo, $$ q(n)=-\frac{m+1}{n} $$

Pero $q$ tiene coeficientes enteros, lo que significa que toma valores enteros en argumentos enteros. Así que $n+1$ es múltiplo de $m$ y $m+1$ es múltiplo de $n$ .

Sin pérdida de generalidad, supongamos $n \geq m$ . Desde $n > 1$ y $m+1$ es múltiplo de $n$ debemos tener $n=m+1$ . Pero entonces $m+2$ es múltiplo de $m$ . En $m > 1$ esto implica que $m=2$ (y por tanto $n=3$ ).

Así pues, las condiciones se reducen a $$ f(6)=1\\ f(3)=4\\ f(2)=9\\ f(1)=36 $$ de lo que se deduce por Interpolación de Lagrange que $$ f(x) =2x^3+23x^282x+97 $$ Así que $f(0)=97$ .