Duda sobre la demostración del heorema de Cayley-Hamilton

Question

Tengo dudas sobre la demostración del teorema de Cayley Hamilton. Este teorema dice que cada matriz es una raíz si su polinomio característico.

La prueba es la siguiente:

Supongamos que la matriz $A$ es de orden $n\times n$ . Si $P(\lambda)$ sea su polinomio característico, entonces por la definición del polinomio característico

$P(\lambda) = det (A - \lambda I) = P_0 + P_1\lambda + P_2 \lambda^2 +\ldots P_n \lambda^n$ .

A continuación, supongamos que $Q(\lambda)$ sea la matriz adjunta de $(A - \lambda I)$ tal que

$Q(\lambda) =Q_0 + Q_1\lambda + Q_2 \lambda^2 +\ldots Q_k \lambda^k$ .

No soy capaz de entender por qué la expresión polinómica de $Q(\lambda)$ es de grado $k$ ? ¿No puedo escribir $Q(\lambda)$ como sigue (grado $n$ polinomio en $\lambda$ )

$Q(\lambda) =Q_0 + Q_1\lambda + Q_2 \lambda^2 +\ldots Q_n \lambda^n$ .

Gracias

Answer 1

$Q$ es en esta prueba la matriz adjunta de $P-\lambda I$ es decir, la matriz transpuesta de la matriz cofactora de $P-\lambda I$ . Cada elemento de la matriz de cofactores es $\pm$ el determinante de una submatriz de $P-\lambda I$ es decir, la suma de los productos de $n-1$ elementos de $P-\lambda I$ y más de uno de los elementos utilizados en cada uno de esos determinantes puede contener un factor de $\lambda$ .

Así que $k$ que es la mayor potencia de $\lambda$ que aparece en $Q$ puede ser igual a $n$ pero también podría ser más o podría ser menos. Sin pruebas, no se puede decir simplemente que $k=n$ .

Pruébelo por un $3\times 3$ matriz de identidad $A$ . El adj de $A-\lambda I$ es un matriz diagonal con entradas $(1-\lambda)^2$ a lo largo de la diagonal. Es decir, de grado $2$ en $\lambda$ no de grado $3$ .

Answer 2

Si $Q(\lambda)$ es el adjunto de $P-\lambda I$ por definición $Q(\lambda)(P-\lambda I)=det(P-\lambda I) I$ .

Compara el elemento de grado máximo de cada matriz de la igualdad. Si un elemento $q_{i,j}$ de $Q(\lambda)$ tenía título $k$ entonces el elemento en cada elemento diagonal de la matriz tendría grado máximo el elemento tendría grado $k+1$ . Puedes demostrarlo escribiendo el producto de la izquierda. Así que $n=k+1$ .