¿Es cierto que $1 - \prod\limits_{n=1}^{+\infty} (1-p_n(x)) \sim x$ $x \to 0$?

Question

Deje $\{p_n(x)\}_{n=1}^{+\infty}$ ser un conjunto de funciones tales que para cualquier $0 < x < 1$: \begin{equation} \quad \forall n \in \mathbb{N}: 0 < p_n(x) < 1 \\ \quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} p_n(x) = x \end{equation}

Me pregunto si esto es cierto siempre que $1 - \prod\limits_{n=1}^{+\infty} (1-p_n(x)) \sim x$$x$$0$?

Es generalmente conocido que $1 - \prod\limits_{n=1}^{+\infty} (1-p_n(x)) < \sum\limits_{n=1}^{+\infty} p_n(x) = x$. Pero podemos mostrar la equivalencia de la izquierda y la derecha lados?

He intentado una secuencia $p_n(x) = \dfrac{6x}{\pi^2n^2}$ (es fácil ver que cumple con las limitaciones anteriores). Para esta secuencia: $$\prod\limits_{n=1}^{+\infty} (1-p_n(x)) = \prod\limits_{n=1}^{+\infty} \left(1-\dfrac{6x}{\pi^2n^2}\right) = \dfrac{\sin(\sqrt{6x})}{\sqrt{6x}} = \dfrac{\sqrt{6x} - (\sqrt{6x})^3/6 + o(x^2)}{\sqrt{6x}} = \dfrac{\sqrt{6x} - x\sqrt{6x} + o(x^2)}{\sqrt{6x}} \sim 1 - x$$

Así que alguien puede demostrar la equivalencia en general o proporcione un contraejemplo? Si un contraejemplo existe, estoy interesado en la búsqueda de $\{p_n(x)\}_{n=1}^{+\infty}$ que minimiza el siguiente límite:

$$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1- \prod\limits_{n=1}^{+\infty} (1-p_n(x))}{x}$$

Si el límite anterior puede ser igual a $0$ algunos $\{p_n(x)\}_{n=1}^{+\infty}$, yo estaría interesado en ver algún ejemplo de este tipo de secuencia.

Todas las ideas, sugerencias, consejos y referencias relacionadas con el problema sería muy apreciada.

Answer 1

Desde $$ \prod_{n=1}^{\infty} (1-p_n(x)) \leq \exp(-\sum_{n=1}^{\infty} p_n(x)), $$ usted obtener $$ \frac{1 - \prod_{n=1}^{\infty} (1-p_n(x))}{x} \geq \frac{1 - e^{-x}}{x}, \qquad x\in (0,1), $$ por lo tanto $$ \liminf_{x\to 0} \frac{1 - \prod_{n=1}^{\infty} (1-p_n(x))}{x} \geq 1. $$ Por otro lado, desde la $0< p_n(x) < x$ y, para cada $x\in (0,1)$, $\log(1-t) \geq -t/(1-x)$ para cada $t\in [0, x]$, obtenemos $$ \frac{1 - \prod_{n=1}^{\infty} (1-p_n(x))}{x} \leq \frac{1-\exp(-\frac{x}{1-x})}{x} $$ por lo tanto $$ \limsup_{x\to 0} \frac{1 - \prod_{n=1}^{\infty} (1-p_n(x))}{x} \leq 1. $$