Es bien sabido que un elemento del subgrupo de conmutadores puede no ser un conmutador.
Ahora existe una técnica de teoría de caracteres para comprobar si un elemento de un grupo es un conmutador.
Un elemento $g\in G$ es un conmutador en $G$ si y sólo si $$\sum_{\chi} \frac{\chi(g)}{\chi(1)}\neq 0.$$
Los ejemplos de grupos finitos en los que algún elemento de $G'$ no es un conmutador no son tan fáciles de producir (muchos ejemplos se construyen por algún método ad-hoc). Para tales grupos, puede ser difícil obtener rápidamente su tabla de caracteres con las herramientas mínimas de la teoría de caracteres. El teorema anterior aparece en el capítulo 3 de la teoría de caracteres de Isaacs, por lo que consideraré sólo estos capítulos.
Pregunta: ¿Hay algún ejemplo sencillo de un grupo finito, para el cual, podamos determinar fácilmente su tabla de caracteres, e ilustrar que algún elemento de su subgrupo conmutador es no un conmutador.
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¿Qué significa "podemos determinar fácilmente su tabla de caracteres"? ¿Quiénes somos? Yo suelo utilizar un ordenador para determinar la tabla de caracteres, lo cual es muy rápido y fácil. Supongo que hay ejemplos en los que un experto en teoría de caracteres (como Isaacs) podría calcular la tabla de caracteres a mano, pero dudo que usted o yo podamos hacerlo fácilmente.
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Estaba pensando en esos posibles comentarios. Pero, si para determinar la tabla de caracteres podemos utilizar el ordenador, entonces para comprobar si un elemento de $G'$ es conmutador podemos utilizar el ordenador; así que todas las cosas sólo con pizarra son inútiles para el propósito. Creo que estas preguntas pueden haber sido visitadas por algunas personas y no siempre se comparten en todas partes; es difícil conseguir esto en cualquier libro. Pero, MathStack podría ser una buena plataforma, y lo he publicado aquí.
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No es difícil construir ejemplos en los que sea fácil demostrar que no todo elemento del subgrupo de los conmutadores es un conmutador (puedo explicar cómo si quieres), pero tales ejemplos son generalmente más grandes que el ejemplo más pequeño, que tiene orden $96$ .
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Hay un buen artículo de L-C. Kappe y R.F. Morse, On commutators in $p$ -grupos, J. Group Theory (2005), véase bit.ly/3598ctl que explora la "brecha" entre el set de conmutadores $K(G)$ de un grupo $G$ y el subgrupo $G'$ . Resultado principal: son iguales si $G$ es un $p$ -grupo de orden $p^n$ , donde $n \leq 7$ cuando $p=2$ y $n \leq 6$ cuando $p$ es impar.