No conozco ninguna caracterización "bonita" de los espacios con bases mínimas, pero utilizando la siguiente se puede demostrar que una amplia clase de espacios no tienen esta propiedad. No es tanto una caracterización de tales espacios como una caracterización de la base mínima (necesariamente única) de un espacio topológico que la tiene.
Dado un espacio topológico $X$ llamamos $x \in X$ a punto base de $X$ si tiene una vecindad abierta más pequeña en $X$ . En este caso denotamos esta vecindad abierta más pequeña por $U(x)$ .
Teorema. Un espacio topológico $X$ tiene una base mínima si $\mathcal{M}(X) = \{ U(x) : x\text{ is a base point of }X \}$ es una base (mínima) para $X$ .
Antes de empezar de verdad, hay que tener en cuenta las siguientes observaciones.
Hecho 1. Si $\mathcal{B}$ es una base mínima para $X$ , entonces para cada $\mathcal{B}_0 \subseteq \mathcal{B}$ , si $\bigcup \mathcal{B}_0 \in \mathcal{B}$ entonces $\bigcup \mathcal{B}_0 \in \mathcal{B}_0$ .
- prueba. Supongamos que $\mathcal{B}_0 \subseteq \mathcal{B}$ es tal que $U = \bigcup \mathcal{B}_0 \in \mathcal{B}$ y $U \notin \mathcal{B}_0$ . Entonces, como cada conjunto en la base $\mathcal{B}$ es la unión de una subfamilia de $\mathcal{B} \setminus \{ U \}$ se deduce que $\mathcal{B}_0 \setminus \{ U \}$ es una base para $X$ contradiciendo la minimidad de $\mathcal{B}$ ¡!
Hecho 2. Si $x$ es un punto base para un espacio topológico $X$ entonces $U(x) \in \mathcal{D}$ por cada base $\mathcal{D}$ de $X$ .
- prueba. Debe haber una $V \in \mathcal{D}$ con $x \in V \subseteq U(x)$ pero por definición de $U(x)$ debe ser que $V = U(x)$ .
Ahora pasamos a la demostración del teorema.
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(⇒) Supongamos que $X$ tiene una base mínima $\mathcal{B}$ . Dado $U \in \mathcal{B}$ Afirmo que $U = U(x)$ para algún (punto base) $x \in X$ . En caso contrario, para cada $x \in U$ hay un $V_x \in \mathcal{B}$ tal que $V_x \subsetneq U$ . Pero entonces $\bigcup_{x \in U} V_x = U$ contradiciendo el hecho 1.
Por lo tanto, $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}(X)$ y como por el hecho 2 tenemos $\mathcal{M}(X) \subseteq \mathcal{B}$ se deduce que $\mathcal{B} = \mathcal{M}(X)$ , como se desee ( es decir , $\mathcal{M}(X)$ es una base mínima para $X$ ).
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(⇐) Supongamos que $\mathcal{M}(X)$ es una base para $X$ . Utilizando el hecho 2 tenemos que $\mathcal{M}(X)$ es un subconjunto de cada base para $X$ y así $\mathcal{M}(X)$ es de hecho un mínimo base para $X$ .
Con respecto a $\mathbb{R}$ bajo la topología habitual, es fácil demostrar que no tiene base mínima, ya que tiene no puntos de base. De hecho, se puede decir algo mucho más fuerte.
Propuesta. Si $X$ es un T 1 -con una base mínima, entonces $X$ es discreto.
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prueba. Supongamos que $X$ es un T 1 -espacio. Si $x \in X$ no está aislado, entonces se puede demostrar que $x$ no tiene ninguna vecindad abierta más pequeña. (Toda vecindad abierta de $x$ es infinito, por y eliminando finitamente muchos puntos distintos de $x$ obtenemos un barrio abierto más pequeño). Si $x \in X$ está aislado, entonces $\{ x \}$ es la mínima vecindad abierta de $X$ ; es decir , $x$ es un punto base de $X$ y $U(x) = \{ x \}$ .
Entonces $\mathcal{M}(X) = \{ \{ x \} : x\text{ is isolated in }X \}$ y es una base para $X$ exactamente cuando cada punto de $X$ está aislado; es decir , si $X$ es discreto.
Una clase interesante de espacios que tienen bases mínimas es la clase de Espacios Alexandrov . Un espacio topológico $X$ es Alexandrov si satisface alguna/todas las siguientes condiciones equivalentes (entre otras muchas):
- La familia de subconjuntos abiertos de $X$ es cerrado bajo intersecciones arbitrarias (no vacías).
- La familia de subconjuntos cerrados de $X$ es cerrado bajo uniones arbitrarias.
- Cada $x \in X$ tiene un barrio abierto más pequeño, es decir Cada $x \in X$ es un punto base de $X$ .
Utilizando la última propiedad anterior y el Teorema es fácil demostrar que todo espacio de Alexandrov tiene una base mínima. Hay ejemplos de espacios con base mínima que no son Alexandrov.
Ejemplo. La familia $\mathcal{B} = \{ [x,+\infty) : x \in \mathbb{Q} \}$ es una base mínima para una topología en $\mathbb{R}$ . Este espacio topológico no es Alexandrov, ya que ningún número irracional es un punto base.
