¿Puede una función cúbica tener dos tangentes en un mismo punto?

Question

Tengo una pregunta al respecto pregunta . La pregunta que se plantea es

si desde un punto ( $h,3h$ ) se trazan exactamente dos tangentes distintas a $f(x)=x^39x^2px+q$ encontrar $p$ y $q$

Llevo toda la semana esperando que alguien más inteligente que yo responda a esta pregunta, pero nadie lo ha hecho, así que tengo que hacer mi pregunta.

He olvidado la mayor parte del cálculo, pero no veo cómo puede haber dos tangentes distintas en un punto determinado. Sé que la primera derivada da la pendiente de la línea tangente en un punto dado. Si dos tangentes son distintas, entonces deben tener diferentes pendientes (si están en el mismo punto), de lo contrario las líneas serán paralelas. Pero la primera derivada sólo da una pendiente. Para que dos rectas con la misma pendiente sean distintas, deben ser paralelas. Por tanto, las rectas no pasan por el mismo punto. Pero el problema dice que sí.

En mi opinión, entonces, no puede haber dos tangentes en un mismo punto debido a esta aparente contradicción. He buscado en la red y en ningún sitio he podido encontrar un ejemplo (ni siquiera una condición extraña y única) en el que haya dos tangentes en un punto. Una función es diferenciable en un punto, lo que significa que hay una línea tangente, o la función no es diferenciable, lo que significa que puede haber cualquier número de tangentes.

Me confunde aún más este asunto con $(h, 3-h)$ . ¿Presenta esto alguna situación especial en la que son posibles las tangentes duales?

Agradezco cualquier luz que puedan arrojar sobre el tema.

Answer 1

Porque a veces una imagen vale más que mil palabras:

Answer 2

El punto $(h,3-h)$ no tiene por qué estar en su cúbica. Para entender lo que ocurre aquí, considera la siguiente situación más sencilla. Supongamos que tenemos la parábola $y=x^2$ y el punto $(0,-1)$ . Este punto no está en su parábola, pero hay dos rectas tangentes a la parábola que pasan por este punto. En concreto tenemos las rectas tangentes $y=2x-1$ y $y=-2x-1$ que son tangentes a $(1,1)$ y $(-1,1)$ respectivamente. Se trata de dos líneas tangentes distintas que casualmente pasan ambas por $(0,-1)$ . Esperemos que esto ofrezca una imagen más clara de lo que está sucediendo aquí.

Answer 3

Es sólo un caso de mala lectura: Toma el círculo unitario y el punto $P = (3, 0)$ . Se pueden dibujar "dos tangentes de $P$ al círculo de la unidad".

Lo mismo ocurre aquí: tienes la gráfica de una cúbica, y si tomas las dos tangentes de la derecha, se ENCUENTRAN en el punto $(h, 3-h)$ . Estoy casi seguro de que esto es lo que la pregunta está pidiendo.

Answer 4

pero no veo cómo puede haber dos tangentes distintas en un punto determinado.

Muy fácil: este punto no pertenece a la curva. Existen exactamente dos tangentes a la curva, que tocan la curva en diferentes puntos, que se cruzan en este punto.

Answer 5

Sólo hay una tangente a un polinomio real en un punto determinado en el polinomio . Pero dos líneas cualesquiera en el plano puede se cruzan en un punto. La pregunta se refiere a un punto que no está en la curva: ¿hay dos líneas tangentes $l_i~ \mathrm{and}~ l_j$ que se cruzan en el punto $(h,~ h-3)$ ?

Consideremos la parábola $y=x^2 + 1$ . La pendiente de la línea tangente en cualquier punto $(w,~ w^2 + 1)$ es $2w$ y por lo tanto la ecuación de esta línea es

$$y-(w^2+1) = 2w(x-w) \\ y = 2wx - 2w^2 + w^2 + 1 = 2wx - w^2 + 1$$

Considere el punto $(0,-8)$ . Queremos que este punto esté en nuestra línea. Así que

$$-8 = -w^2 + 1 \\ w^2 = 9 \rightarrow w = \pm 3$$ nos da dos puntos donde las líneas tangentes se cruzan en el punto que elegimos.