¿Cómo encontrar si esta función es siempre cero?

Question

La pregunta a la que me enfrenté fue:

Dejemos que $f(x)$ sea una función continua no negativa y acotada para todo $x \ge 0$ . Si
$$(\cos x)f'(x) \le (\sin x - \cos x)f(x), \; \forall \; x \ge 0$$ entonces, ¿cuál o cuáles de las siguientes opciones son correctas?

(A) $f(6) + f(5) > 0$

(B) $x^2 - 3x + 2 + f(9) = 0$ tiene dos soluciones distintas

(C) $f(5)f(7) - f(6)f(5) = 0$

(D) $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{f(x) - \sin(\pi x)}{x-4} = 1$

La respuesta es:

(B), (C)

Por observación, $f(x)=0$ satisface las condiciones dadas. ¿Pero es la única solución? Si es así, ¿cómo se puede demostrar que lo es?

Después de reordenar los términos y combinarlos, he convertido la desigualdad en esta forma: $$ \left( f(x)\,\cos x \right)' + f(x)\,\cos x \le 0 $$ A pesar de su encanto, esta desigualdad no me lleva a ninguna parte. No parece tener ninguna información sobre $f(x)$ ya que está atascado con un " $\cos x$ ". Incluso así, no veo dónde puedo ir con ello.

¿Cómo resolver este problema? Gracias.

Answer 1

Si se fija $g(x)=f(x)\cos x$ , su reordenamiento le dice que $$ \tag{1} g'(x) \le -g(x) $$

Considere un intervalo $[2\pi k-\frac12\pi , 2\pi k +\frac12\pi]$ donde $\cos x$ es $\ge 0$ . Entonces sabes que $g(x)\ge 0$ en este intervalo, y $g(x)=0$ en el iniciar del intervalo. Entonces, debido a (1), $g(x)$ debe ser idénticamente cero en ese intervalo, y también debe $f(x)$ .

Esto resuelve al menos (A) y (C), porque $5$ , $6$ y $7$ están todos dentro de $\pi/2$ de $2\pi$ .

---

Para (B) y (D) este argumento no dice lo suficiente; en su lugar, recomiendo la respuesta más ingeniosa de Peter.

Answer 2

Suponemos que $f(x)$ está acotado y es no negativo, para $x \geqslant 0$ . Esto significa que existe una función no negativa $g(x)$ con la propiedad de que $f(x) = g(x)e^{-x}$ para $x \geqslant 0$ .

Introduciendo esto en la desigualdad que encontraste da, \begin{equation} 0 \geqslant (f(x)\cos (x))' + f(x) \cos (x) = e^{-x} (g(x) \cos(x))'. \end{equation} Y como $e^{-x} > 0$ tenemos \begin{equation} 0 \geqslant (g(x) \cos(x))'. \end{equation} Esto significa que la función $g(x) \cos(x)$ es débilmente decreciente. Porque cualquier punto $x \in \mathbb{R}$ está entre dos ceros de $\cos(x)$ tenemos que $g(x) \cos(x) = 0$ para todos $x$ .

Answer 3

Obsérvese que siempre que algún $f$ satisface la hipótesis, entonces también lo hace cualquier múltiplo positivo de $f$ . En particular:

Obsérvese que (B) es equivalente a $$0<(-3)^2-4(2+f(9)) = 1-4f(9)$$ es decir $f(9)<1/4$ . Por lo tanto, (B) puede cumplirse si y sólo si $f(9) =0$ para cualquier $f$ satisfaciendo la hipótesis.