¿Qué conocimientos son especialmente sencillos de obtener mediante la teoría de categorías?

Question

Estoy intentando motivarme para aprender teoría de categorías, pero no tengo una visión clara de cuál sería el beneficio. He oído que se puede utilizar para encontrar similitudes entre teorías matemáticas, pero no he visto ningún ejemplo de ello o quizá ni siquiera pueda reconocerlas entre la bibliografía porque, para empezar, no domino la Teoría de Categorías.

Por lo tanto, busco una visión que requiera muy pocos conocimientos sobre el tema (para motivar; no se puede pedir a la gente que estudie un tema extenso sin ofrecer pequeñas recompensas en el camino) y que destaque sus virtudes.

Answer 1

En mi opinión, lo que "realmente ocurre" con la teoría de categorías es que es la teoría de modelos de teoría de tipos . En la página de Wikipedia sobre teoría de tipos que acabamos de enlazar Se cita a John Lane Bell "En términos generales, una categoría puede considerarse como una teoría de tipos despojado de su sintaxis". La teoría de tipos (en el sentido amplio del término) puede considerarse como una lógica (potencialmente) relevante para la prueba y, por tanto, engloba otros sistemas lógicos. Por ejemplo, álgebra universal está muy bien recogida por la teoría de categorías en varios , interrelacionados maneras.

Lo que esto significa es que cualquier resultado "puramente" categórico corresponde a un teorema demostrable en un teoría/lógica de tipos sintácticos que se aplica a todos los "modelos" de esa teoría/lógica de tipos. (O realmente, muy en el espíritu de la teoría de categorías de centrarse en cómo se relacionan las cosas más que en lo que son, será un resultado sobre cómo se relacionan los teoremas demostrables en diferentes lógicas). Un ejemplo por excelencia de esto es la noción de adjunto y, en particular, el hecho bastante fácil de demostrar de que las uniones a la derecha preservan todos los límites y, a la inversa, las uniones a la izquierda preservan todos los colímites. Estos dos hechos por sí solos demuestran un número sorprendentemente grande de hechos una vez que usted reconoce las cosas como colindantes (o hay resultados similares para la noción aún más ampliamente aplicable de un functor representable ), y muy , muy muchas construcciones son colindantes . Permítanme ponerles un ejemplo sencillo. Consideremos un par de functores adjuntos $F \dashv U : \mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ (esto significa $F : \mathbf{Set}\to\mathcal{C}$ la dirección opuesta de $U$ ). He aquí algunos ejemplos de los teoremas anteriores sobre la conservación de los (co)límites. $\coprod_{i\in I}F(1)\cong F(I)$ , $U(\prod_{i\in I}M_i)\cong\prod_{i\in I}UM_i$ (siempre que $\prod_{i\in I}M_i$ existe), $F(S/{\sim}) \cong F(S)/{\sim'}$ (es decir $F$ aplicado a un conjunto cociente es un objeto cociente), $N \rightarrowtail M \implies UN\rightarrowtail UM$ es decir, siempre que $N$ es un subobjeto de $M$ entonces $UN$ es un subobjeto de $UM$ es decir $UN$ es un subconjunto de $UM$ hasta isomorfismo. Estos son hechos completamente generales que se aplican a todos los functores adjuntos cuyo adjunto derecho se dirige a la categoría de conjuntos y funciones para cualquier categoría $\mathcal{C}$ . Puedes echar un vistazo a los ejemplos de functores adjuntos en la página de Wikipedia y considerar qué aspecto tendrían en esos ejemplos.

Vamos a instanciarlas a nuestro ejemplo de álgebra universal. Toda categoría de objetos algebraicos (por ejemplo, anillos, celosías, grupos, módulos, pero no campos) tiene un adjunto de este tipo donde $F$ corresponde al anillo/lattice/grupo/etc. libre y $U$ mapea al conjunto subyacente o portador del anillo/lattice/grupo/etc. (Esta adjunción satisface una propiedad adicional llamada monadicidad que no es relevante aquí, pero es otra pieza de la teoría de categorías "pura" de la que podemos derivar muchos más resultados). Los teoremas anteriores son entonces: "el objeto libre en un conjunto es el coproducto de copias del objeto libre en un generador indexado por ese conjunto", "el conjunto subyacente de un producto de objetos algebraicos es el producto de sus conjuntos subyacentes", "el objeto libre en el cociente de un conjunto es el cociente del objeto libre en el conjunto", "el conjunto subyacente de subobjeto (subring, subgrupo, submódulo, sublattice, etc.) de un objeto algebraico es un subconjunto (hasta isomorfismo) del conjunto subyacente del objeto". Ninguno de estos resultados es especialmente difícil de demostrar, pero demostrar concretamente cualquiera de ellos para un objeto algebraico concreto, digamos anillos, sería comparable o más difícil que demostrar el resultado general sobre la conservación de (co)límites por functores adjuntos, y obviamente sería mucho menos general. He respondido varios preguntas aquí utilizando poco más que estas propiedades de conservación o la fallo del mismo .

En una línea similar, pero diferente, está la noción de un topos elemental . En este caso, en lugar de tener una categoría con una estructura bastante mínima y demostrar resultados con una generalidad arrolladora, consideraremos categorías mucho más altamente estructuradas que, siempre que podamos demostrar que una categoría es un ejemplo de una, nos darán una variedad de herramientas. La descripción breve desde la perspectiva de la lógica es que un topos elemental es una categoría que nos permite hacer lógica intuicionista de orden superior o, más familiarmente, podemos hacer teoría de conjuntos intuicionista en un topos elemental (con objeto números naturales (NNO) si queremos el axioma del infinito). La pieza más llamativa de la "teoría pura de categorías" son los axiomas de Lawvere para un topos elemental, que son 1) la categoría tiene todos los límites finitos (una propiedad muy común) y 2) la categoría tiene objetos de poder . Es notable que estas dos sencillas propiedades den lugar a tal riqueza de estructuras y (con los NNO) permitan hacer una gran parte de las matemáticas (constructivas). Lo que es aún más notable es que las toposis surgieron de la geometría algebraica por razones completamente ajenas, y esto proporciona bastantes ejemplos de toposis, así que resulta que hay muchos modelos de teoría de conjuntos intuicionista. (También hay muchos ejemplos de (pre)gavillas fuera de la geometría algebraica, como por ejemplo conjuntos simpliciales .) Una clase notable es láminas en un espacio topológico . Cohen forzando utilizados para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo y el axioma de elección pueden formularse, de forma bastante directa, como si se tratara de láminas particulares. Podemos alimentar estas los enfoques basados en el lenguaje interno vuelven a la geometría algebraica hacer que las definiciones externas, a veces intimidatorias, sean declaraciones completamente pedestres a nivel interno. Por ejemplo, una espacio localmente anillado es sólo la visión externa de la existencia de un anillo local (formulado constructivamente) interno. Además, cualquier cosa que se pueda demostrar (constructivamente) sobre anillos locales, se convierte ahora (también) en un teorema sobre espacios anillados localmente. Categorías abelianas tener un historia similar con categorías de módulos que sustituyen a las categorías de "conjuntos". A historia similar ocurre con categorías monoidales simétricas y lógica lineal pero las categorías simétricas monoidales también están relacionadas con la física. Otro ejemplo es $(\infty,1)$ -categorías y teoría de tipos de homotopía .

Resumiendo, la teoría de categorías "pura" es a menudo el estudio de clases de categorías que, mediante lenguajes internos, podemos (aunque históricamente a menudo no lo hemos hecho) reformular como si habláramos de la teoría de modelos de alguna teoría lógica/de tipos. Dado que los lenguajes internos son sólidos y completos, podemos hablar sintácticamente de lo que es demostrable/construible en el lenguaje interno. Estos resultados sintácticos, que a menudo son bastante sencillos de establecer en el lenguaje interno, pueden interpretarse en muchos casos específicos. Mi "lista de comprobación" cuando considero una categoría nueva incluye cosas como: ¿es una categoría abeliana? ¿es un topos? ¿tiene (co)límites finitos? ¿es la categoría de modelos de un boceto ¿es cartesianamente cerrado? ¿es simétricamente monoidalmente cerrado? Básicamente, estas preguntas me ayudan a averiguar cuáles son las características de la teoría de tipos que es el lenguaje interno, que suele proporcionar una notación muy compacta y un montón de intuiciones y resultados. Por ejemplo, un categoría cartesiana cerrada modelos a cálculo lambda tipado (con productos), así que soy libre de usar esa notación y todas las herramientas de razonamiento que tengo de la programación funcional para aplicarla. Como se mencionó anteriormente, si se trata de un topos, entonces además sé que el cálculo lambda tipado tiene sumas y productos dependientes así como tipos de suma y una variedad de otras construcciones.

Answer 2

He aquí un ejemplo de pensamiento categórico que aclara una elección de construcción en topología de conjuntos de puntos. Tomemos el producto cartesiano de algunos conjuntos, digamos indexados por un conjunto $I$ . Lo escribiré como $\prod_{i \in I} X_i$ . Ahora, supongamos que queremos hacer $\prod_{i \in I} X_i$ en un espacio topológico dado que ya hemos definido espacios topológicos en el $X_i$ . Hay muchas maneras de hacerlo. Por el bien de este comentario, compararé dos. La topología de producto y la topología de caja.

La topología de cajas es, hasta cierto punto, la noción "intuitiva" que hay que utilizar. Dice que si cada $U_i \subseteq X_i$ son conjuntos abiertos, entonces el producto set-teórico $\prod_{i \in I} U_i$ es un conjunto abierto de $\prod_{i \in I} X_i$ (y la unión arbitraria de todos esos conjuntos también es abierta en el producto). La topología del producto, en cambio, parece surgir de la nada. Dice que si cada $V_i \subseteq X_i$ está abierto y por sólo finitamente muchos $i \in I$ tenemos $V_i \neq X_i$ entonces el producto $\prod_{i \in I} V_i$ es un conjunto abierto de $\prod_{i \in I} X_i$ (y la unión arbitraria de todos esos conjuntos también es abierta en el producto).

Si $I$ es finito, estas dos nociones coinciden. Por otra parte, si $I$ es infinita, resulta que la topología de producto es más gruesa que la topología de caja. Como su nombre indica, normalmente tomamos la topología de producto como la topología natural sobre el producto cartesiano de conjuntos, en lugar de la topología de caja. ¿Por qué?

Pues bien, resulta que en $\mathbf{Top}$ en la categoría de espacios topológicos, el producto categórico corresponde a la topología del producto, no a la topología de caja. Esto se debe a los mapas de proyección $\pi_j: \prod_{i \in I} X_i \to X_j$ . Dado cualquier mapa continuo $f: Y \to \prod_{i \in I} X_i$ (dotado de la topología del producto), existe un único mapa continuo $f_j: Y \to X_j$ tal que $f_j = \pi_j \circ f$ . Esta es exactamente la propiedad universal del producto en una categoría.

Tomamos la construcción que da las "mejores" propiedades, aunque esa construcción no sea la más intuitiva. Creo que este ejemplo demuestra que la teoría de categorías a veces puede aclarar cuáles son esas "mejores" propiedades.

Answer 3

He aquí un ejemplo interesante.

Es posible que conozca la noción de anillo graduado . Una definición común es que es un anillo cuyo grupo abeliano aditivo puede escribirse como una suma directa $A = \bigoplus_n A_n$ de grupos abelianos, donde $n$ abarca los números enteros, con la propiedad de que el producto de algo de $A_m$ con algo de $A_n$ es un elemento de $A_{m+n}$ .

He leído que la definición de módulo graduado sobre un anillo clasificado había varias definiciones candidatas, y no estaba del todo claro cuál era la correcta.

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Ahora, introduzca la definición categorética de módulo.

Si $G$ es un grupo, podemos construir la categoría $\mathcal{C}$ con un objeto y cuyo endomorfismo monoide es precisamente ese grupo. Una izquierda $G$ -set es un functor $\mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ . A la izquierda $G$ -es un functor $\mathcal{C} \to \mathbf{Ab}$ .

Muchas de las buenas propiedades de la categoría de $G$ -o la categoría de $G$ -se deducen simplemente de hechos generales sobre categorías de funtores, en particular $\mathbf{Set}$ o $\mathbf{Ab}$ -categorías functoras.

Del mismo modo, si $R$ es un anillo, podemos construir la categoría preaditiva $\mathcal{C}$ con un objeto cuyo anillo de endomorfismo es precisamente ese anillo. Una izquierda $R$ -es un functor $\mathcal{C} \to \mathbf{Ab}$ .

A clasificado anillo $A$ tiene una descripción como categoría preaditiva $\mathcal{C}$ cuyos objetos son números naturales, con $\hom(m,n) = A_{n-m}$ siendo la composición el producto del anillo.

Ahora es obvio cuál debería ser la definición correcta de un módulo izquierdo sobre un anillo graduado: un functor $\mathcal{C} \to \mathbf{Ab}$ .