No hay flechas en la notación de pullbacks

Question

Normalmente, en una categoría con pullbacks, el pullback en un cospan $f : A \rightarrow C \leftarrow B : g $ se observa $ A \times_C B $ . Sin embargo, su definición depende en gran medida de la elección de las flechas $f$ y $g$ .

Entonces, ¿hay una buena razón coherente para mencionar $C$ en la notación, en lugar de mencionar $(f,g)$ ?

O, si no, ¿hay una buena razón histórica?

Answer 1

El retroceso es el producto categórico en el categoría de corte de objetos sobre $C$ .

Un buen caso de motivación para pensar es la categoría de esquemas, donde, por ejemplo, la categoría de esquemas sobre un campo $k$ es la categoría de objetos sobre $\text{Spec } k$ en la categoría de esquemas. En los esquemas afines el producto categórico viene dado incluso por el producto tensorial de los correspondientes anillos de funciones sobre $k$ (que también denotamos por $A \otimes_k B$ sin destacar explícitamente la dependencia de los mapas $k \to A, k \to B$ ).

Nótese que la notación matemática omite constantemente la dependencia de datos adicionales en aras de la brevedad: por ejemplo, en la teoría de la representación es típico hablar de una representación $V$ de un grupo $G$ sin destacar explícitamente que todas las construcciones que implican $V$ dependen de la elección del mapa $\rho : G \to \text{Aut}(V)$ . La cuestión es que se entiende que el símbolo $V$ ya se refiere implícitamente a estos datos, lo que suele quedar claro por el contexto.

Answer 2

Es técnicamente correcto. La definición del pullback depende completamente de las flechas $f$ y $g$ . Una de las razones de la prevalencia de la notación $A\times_C B$ en lugar de algo como $A\times_{f,g} B$ es que es más agradable desde el punto de vista estético y muy a menudo no da lugar a la ambigüedad. A menos que esté en presencia de otra flecha con codominio $C$ la notación $A\times_C B$ sólo puede referirse a un retroceso.