Modos de QFT y representación irreducible del grupo de gauge

Question

Esto es en referencia para el cálculo en la sección 3.3 a partir de la página 20 de este documento.

• Me encontré con un argumento que parece decir que la "restricción de Gauss la ley de" cumple con la teoría de gauge en espacios compactos para ser tal que los estados físicos sobre los que la función de partición sumas de ser invariante gauge.

Me gustaría escuchar las explicaciones del argumento anterior.

• También la de arriba parece conducir (bastante no-obviamente para mí) a la conclusión de que estos estados físicos corresponden a restos de productos de operadores que actúan en el espacio de Fock de vacío. No es claro para mí en cuanto a cómo este seguimiento está definido de tal forma que, incluso después de haber trazado que sigue siendo un operador.

{Muy a menudo, uno parece querer estos operadores en el "adjoint de" el grupo gauge. El significado y la motivación de esta demanda no es clara para mí. (Estoy familiarizado con la noción de adjoint representación de la Mentira grupos)}

• Relacionado con el anterior es otro reclamo veo que parece decir que la masa de los modos estará ausente por un grupo gauge Yang-Molino de la teoría y cualquier contenido de materia si la teoría es en un espacio compacto. Es el de arriba, ¿correcto? Por qué (si sí o no)?

• En estos escenarios es el de la terminología de los "básicos excitaciones" de una teoría de la misma cosa como una sola partícula de los estados? ¿Cómo son estas partículas individuales de los estados, en general, relacionadas con los estados físicos construido de arriba?

Cual de estos es a lo que se refiere la gente cuando habla de "modos" de un QFT?

• Si hay un medidor de simetría, por definición, se le conmuta con el Hamiltoniano y, por tanto, los estados de la teoría en cada nivel de energía se forma una representación del grupo gauge. Puede algo ser dicho acerca de su reducibilidad o no?

La afirmación parece ser que si la hay decir $n_E$ quanta en el nivel de energía $E$ (en virtud de la transformación de decir la representación de $R_E$ del grupo gauge), a continuación, al contar su contribución a la función de partición de la boltzman factor tiene que seguir ponderado por el número de $1$ representaciones tridimensionales ("maillots" ?) en el $n$-pliegue simétrico (por bosones) o el anti-simétrica (para fermiones) tensor de energía de $R_E$.

Yo estaría encantado de saber de las explicaciones de los de arriba.

Answer 1

Es un montón de preguntas, pero tienen bastante fáciles de responder, así que aquí están:

• De Gauss, la ley es sólo $\mbox{div }\vec D=\rho$ en la electrodinámica. Tenga en cuenta que no contiene derivados tiempo así que no es realmente una ecuación que describe la evolución: es una ecuación de la restricción de las permitidas las condiciones iniciales. De manera más general, es la ecuación de movimiento que se consigue variando el Lagrangiano con respecto a $A_0$, el componente de tiempo de el medidor de campo, por lo que la correspondiente ecuación de movimiento de la cuenta de la divergencia del campo eléctrico, menos el de la eléctrica de fuentes (densidad de carga) debe ser igual a él. Esta diferencia no es nada que el generador de la total $U(1)$ grupo o a cualquier otro grupo, si se considera más general de las teorías, de modo que la ecuación clásica de arriba es promovido a la cuántica ecuación en la que $(\mbox{div }\vec D-\rho)|\psi\rangle=0$ lo que significa que el estado $|\psi\rangle$ es de calibre-invariante.

• Las huellas están encontrando aquí - no-Abelian teorías - son sólo huellas sobre la fundamental (o, con menos frecuencia, medico adjunto) los índices de Yang-Mills grupo. Son diferentes de huellas sobre el espacio de Hilbert. Se debe distinguir entre los diferentes tipos de índices. Seguimiento sobre algunos índices de color no cambia el hecho de que todavía tienen los operadores.

• "Adjoint de un grupo gauge" está claro que es la misma cosa como "Adjoint representación de la Mentira de grupo que se utiliza para el indicador de grupo."

• No es cierto que todos los espacios compactos eliminar todos los campos sin masa - por ejemplo, la Wilson línea de un medidor de campo sigue siendo perfectamente sin masa escalar campo toroidal compactifications en teorías supersimétricas - pero en la mayoría de los otros, casos genéricos, es cierto que compactification destruye la masslessness de todos los campos. Todos los de Fourier (o no-cero normal), los componentes de los campos que trivial dependen de las dimensiones extra - el Kaluza-Klein - modos de convertirse en masiva debido a la extra impulso en las dimensiones adicionales. Pero incluso el "cero" modos de convertirse en masiva en teorías generales debido a la Casimir-como potenciales resultantes de la compactification.

• Básicos de las excitaciones no son "lo mismo" como una partícula de estados. De hecho, queremos usar la palabra "excitación" exactamente en el contexto cuando el objetivo es describir arbitraria partículas múltiples estados. Pero la básica excitaciones son sólo la creación de los operadores (y el correspondiente a la aniquilación de los operadores) construido por transformadas de Fourier-la transformación de los campos que aparecen en el Lagrangiano, o que son elementales en cualquier manera similar.

• Usted no ha construido ninguna "estados específicos de arriba", así que no puedo decirte cómo algunos otros estados que aún no descritas están relacionadas. En este sentido, su pregunta seguía siendo vaga. Todos ellos son algunos de los estados con las partículas en el espacio de Hilbert - pero casi todos los estados pueden ser clasificadas de esta manera.

• Un modo de un campo cuántico es el término en algún tipo de descomposición de Fourier, o - para más general compactifications y fondos - otro término (tales como la armónica esférica) que es un eigenstate de energía, es decir, que se desarrolla como $\exp(E_n t/i\hbar)$ con el tiempo. Así, por ejemplo, un campo de $X(\sigma)$ para un periódico de $\sigma$ puede ser escrito como la suma de abajo. Las condiciones individuales para un fijo $n$ - o el factor de $X_n$ o de la función que multiplica (esta terminología depende del contexto un poco) - son los modos. $$\sum_{n\in Z} X_n \,\exp(in\sigma - i|n|\tau)$$

• Medidor de simetría tiene que conmuta con el Hamiltoniano porque nos quieren prohibir el calibre no invariantes de los estados, y por su prohibición en el estado inicial, tienen que estar ausente en el estado final, demasiado. Así que tiene que ser una simetría. Por otro lado, la teoría de la representación es trivial porque, como he dicho al principio, se requiere un estado físico a ser gauge invariantes; ese fue el comentario acerca de Gauss la ley: los estados tienen que ser aniquilado por todos los operadores del tipo $\mbox{div }\vec D-\rho$ que son sólo los generadores del grupo gauge en varios puntos. En otras palabras, todos los estados físicos tienen que ser maillots en el indicador de grupo. Es por eso que el término "simetría" es un poco engañoso: algunas personas prefieren llamarlo "medidor de redundancia". Por lo que el espacio de Hilbert es sin duda completamente reducible a un número arbitrario de los maillots. Usted puede reducir a las partes más pequeñas que existen en álgebra lineal - uno-espacios dimensionales.

• Acabo de explicar que de nuevo ¿por qué todos los estados físicos son singletes en el indicador de grupo. El hecho de que $n$-partícula de los estados con idéntico partículas son completamente simétrica o completamente antisimétrico reduce a la intuición fundamental de que en la teoría del campo cuántico, las partículas son idénticas y su función de onda tiene que ser simétrica o antisimétrica (para bosones y fermiones), ya que la correspondiente creación de operadores que conmutan (o anticommute) el uno con el otro.