Limitar la distribución de una suma cuadrada de variables aleatorias

Question

Que $S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ y $T_n = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^nY_i$, donde

$X_i$ Son iid, $Y_i$ son iid (con una ley diferente)

$X_i$, y $Y_i$ dependen

$i\neq j$, $X_i$% #% Y los #% son independientes.

¿Hay un resultado de tipo de límite central para $Y_j$?

Answer 1

Si $X_i$ $Y_j$ son dependientes de $i=j$, pero independiente de $i\neq j$ tenemos un iid ejemplo de distribución bivariante $Z_i=(X_i,Y_i)$. Entonces teorema central del límite nos da

\begin{align} \sqrt{n}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nZ_i -EZ_1\right)\xrightarrow{D}N(0,\Sigma) \end{align} con $\Sigma=cov(Z_1)$$\xrightarrow{D}$, lo que indica la convergencia en distribución. Tenga en cuenta que

$$(S_n,T_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nZ_i.$$

Ahora podemos utilizar el método delta, que establece que si $r_n(U_n-\theta)\xrightarrow{D}U$ para los números de $r_n\to\infty$,$r_n(\phi(U_n)-\phi(\theta))\xrightarrow{D}\phi'_\theta(U)$. Esta declaración se puede encontrar aquí. Método Delta también se describe aquí.

En nuestro caso, ahora tenemos $r_n=\sqrt{n}$, $\phi(x,y)=x^2-y^2$, $U_n=(S_n,T_n)$ y $\theta=(EX_1,EY_1)$. Tenemos

$$\phi_{\theta}'=(2EX_1,-2EY_1)$$

y

$$U=(U_1,U_2)\sim N(0,\Sigma)$$

Finalmente llegamos

\begin{align} \sqrt{n}\left(S_n^2-T_n^2-(EX_1)^2+(EY_1)^2\right)\xrightarrow{D} 2U_1EX_1-2U_2EY_1:=V \end{align}

Ya sabemos que $(U_1,U_2)\sim N(0,\Sigma)$ obtenemos que

$$V\sim N(0,4(EX_1,EY_1)\Sigma(EX_1,EY_1)').$$

Tenga en cuenta que yo, básicamente, a rehacer el ejemplo después de que el teorema en el enlace.

La respuesta final dependerá, entonces, de $\Sigma=cov((X_1,Y_1))$, pero esto debe ser conocido para cartel original.