Cociente de un grupo reductor por un subgrupo finito central no liso

Question

Necesito una construcción en la algebraicas lineales grupos que se utiliza tomando el cociente por una central finito grupo subscheme. Mi pregunta es si pasa a través de características `malas", cuando este grupo subscheme no es suave. Primero escribo esta construcción en un caso especial y, a continuación, en el caso general.

Deje $G$ ser conectado semisimple $k$-grupo sobre un campo $k$ de los característicos $p>0$. Podemos suponer que la $k$ es algebraicamente cerrado. Suponga que el correspondiente adjunto del grupo $G^{ad}$$PGL_n$.

En general, mi grupo $G$ no es especial (recordar que un $k$grupo $G$ es llamado especial si $H^1(K,G)=1$ para cualquier campo de extensión de la $K/k$). Quiero construir una especial $k$grupo $H$ relacionado a $G$. Para este fin, considero que el universal que cubre $G^{sc}$$G$,$G^{sc}=SL_n$. Deje $Z$ denotar el centro de la $G^{sc}$,$Z=\mu_n$.

Tenemos un canónica epimorphism $\varphi\colon SL_n \to G$. Denotamos por a $C$ el kernel de $\varphi$. A continuación, $C$ es un grupo subscheme de $Z$, definido $k$.

Desde $Z=\mu_n$, hay un canónica de la incrustación de $Z\hookrightarrow \mathbb{G}_m$ en el grupo multiplicativo $\mathbb{G}_m$. Así obtenemos una incrustación $C\hookrightarrow \mathbb{G}_m$. Considere la posibilidad de la diagonal de la incrustación $$C\hookrightarrow SL_n\times \mathbb{G}_m.$$ Me gustaría definir $H:=(SL_n\times \mathbb{G}_m)/C$. Es un cociente definido, cuando char($k$) divide $n$ $C$ no es lisa?

Tenga en cuenta que $SL_n$ incrusta en $H$, y tenemos una breve secuencia exacta $$1\to SL_n \to H \to \mathbb{G}_m \to 1$$ En esta secuencia exacta tanto en $SL_n$ $\mathbb{G}_m$ son especiales, y de la Galois cohomology de la secuencia exacta vemos que $H$ es especial, así.

En el caso general, supongo que $G^{ad}$ es un producto de grupos $PGL_{n_i}$, $i=1,\dots s$. A continuación, $G^{sc}$ es el producto de $SL_{n_i}$. Deje $C$ denotar el núcleo de la canónica epimorphism $\varphi\colon G^{sc}\to G$, $C$ está contenida en el centro de la $Z$$G^{sc}$. Tenemos $Z=\prod_{i=1}^s \mu_{n_i}$. De nuevo nos incrustar en diagonal $$C\hookrightarrow (\prod_{i=1}^s SL_{n_i}) \times (\mathbb{G}_m)^s $$ y denotan por $H$ el cociente. De nuevo $H$ es especial (si está definido), y de nuevo mi pregunta es, si esta construcción tiene sentido cuando char($k$) divide $n_i$ algunos $i$.

Cualquier ayuda es bienvenida!

Answer 1

El cociente por cualquier finito plana subgrupo esquema siempre existe (véase, por ejemplo, el SGA 3:Exp V, Thm 7.1). En su caso, el subgrupo esquema es de tipo multiplicativo, el doble de un número finito de grupo abelian $A$, por lo que una acción de en una afín $k$-esquema es sólo una $A$-calificación de la coordenada anillo en el esquema. El cociente es sólo el el espectro de la licenciatura $0$-parte. Si $R$ $A$- graduado conmutativa álgebra de Hopf ( $k$ ), es claro que el grado $0$-parte de $R$ es un conmutativa álgebra de Hopf. Esto le da una razonable descripción concreta de la cociente en ese caso.

Answer 2

El estándar de los teoremas de isomorfismo en abstracto de la teoría de grupo todos tienen para el grupo de los esquemas de finito tipo de más de un campo. Esto está implícito en el SGA (un punto clave es la declaración mencionada por Ekedahl) y es explícito en las notas sobre algebraicas grupos,... que aparecen en mi sitio web (Sección 7 del Capítulo I). Esto hace un montón de cosas obvias (incluyendo a sus preguntas).

[Los teoremas de isomorfismo fallar al no permitir nilpotents, que es la razón por la norma exposiciones sobre algebraicas grupos son tan complicada.]

Answer 3

Este es un ejemplo de lo que creo que se llama el $z$-construcción, y es un truco útil en la aritmética de la teoría algebraica de los grupos. (Pequeña corrección: su diagonal de la incrustación de que en realidad debería ser "anti-diagonal". Son realmente los que el cálculo de una "central de pushout".) Sin embargo, usted puede necesitar restringir su campo de tierra a ser local o global (con algunas salvedades en el caso de lugares reales) para obtener el cohomological de fuga.

En general, vamos a $G$ ser cualquier split conectado semisimple grupo sobre un campo $k$, e $G' \rightarrow G$ $k$- split simplemente conectado central de la cubierta. Deje $Z$ ser el centro de la $G'$.Esta es una $k$-grupo de tipo multiplicativo, posiblemente no etale. Es $k$-split desde $G'$ $k$- split, de modo que podemos elegir un $k$-subgrupo inclusión de $Z$ a una $k$-split $k$-torus $T$ (visto el uso de grupo de personajes). Ahora se acaba de formar el central pushout de $G'$ a lo largo de esta inclusión. Más precisamente, la antidiagonal mapa $$Z \rightarrow G' \times T$$ es una central de $k$-subgrupo esquema, y en SGA3, VI$ _{\rm{A}}$ cocientes son construidos y estudiados para arbitrario finito grupo de tipo de esquemas sobre un campo modulo cerrado subgrupo esquemas de finito tipo (y más en general). Podemos, por tanto, el cociente por esta central subgrupo esquema, y que tiene todas las propiedades razonables que desee para tener un cociente. Este pushout $H$ $k$- grupo que contiene a $G'$ normal $k$-subgrupo, y el cociente $H/G'$$T/Z$. Al ser un cociente de $k$-split toro, es de nuevo un $k$-split toro.

Siempre el campo de tierra es un local o global de la función de campo (con algunas restricciones adicionales en el caso de un lugar real), todos simplemente conectado semisimple grupos han de fuga grado-1 Galois cohomology. Por lo que hace el trabajo para estos campos. También se puede hacer una variante para dividir conectado reductora grupos, e incluso una variante sin una división hipótesis (pero entonces la conclusión es un poco diferente).