Grupo fundamental del pendiente hawaiano

Question

Estoy tratando de entender cómo el grupo fundamental de la cuña infinita de círculos es $G=\prod_{i=1}^\infty\mathbb{Z}$ .

Entiendo que es algo más que $H=\bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb{Z}$ porque podemos obtener más bucles que $H$ admite porque los radios de los círculos disminuyen, y la continuidad sólo requiere que nos acerquemos a $0$ en lugar de terminar en $0$ .

Sin embargo, siento que el grupo fundamental sigue siendo algo más que $G$ . Es decir, deberíamos ser capaces de visitar círculos anteriores con radios más grandes siempre que estas visitas sólo se produzcan un número finito de veces (esta operación de grupos no es la multiplicación por puntos, sino que se trata de un tejido de letras alternas donde las letras consecutivas de la misma copia de $\mathbb{Z}$ se suman).

Podría ser que estos dos grupos que estoy considerando sean isomorfos, pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo o si lo son. Por lo tanto, mi pregunta es si estos dos grupos son isomorfos o si el grupo que estoy considerando no representa el grupo fundamental de la cuña infinita de círculos.

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Me avergüenza decir que he leído una afirmación que no se hacía en mi fuente Simplemente dice que el grupo fundamental de la cuña se proyecta sobre $G$ . Por eso pregunto si alguien conoce el grupo fundamental de la cuña de contracción infinita.

Answer 1

Es un error común pensar que no existe una buena descripción combinatoria del arete hawaiano (o de otros espacios unidimensionales salvajes como la alfombra de Sierpinski o la curva de Menger). Una vez que te acostumbras a la construcción, en realidad no está tan mal. Yo diría que es mucho más manejable que los grupos de homotopía de esferas. Además, este grupo ha cobrado bastante importancia en la teoría de grupos infinitos, ya que en muchos sentidos es el grupo no abeliano Grupo Specker .

Pece tiene razón en que la forma de tratar $\pi_1(H)$ es como un subgrupo de un límite inverso de grupos libres. Esta representación de $\pi_1(H)$ es utilizar en secreto la "teoría de la forma". Doy una introducción amistosa al grupo fundamental del pendiente hawaiano en la entrada del blog:

http://wildtopology.wordpress.com/2013/11/23/the-hawaiian-earring/

En entradas más recientes del blog he recorrido paso a paso el sutil argumento de De Smit de que $\pi_1(H)$ no es gratuito (al que hace referencia Pece).

Answer 2

El cuña infinita de círculos suele llamarse Pendiente hawaiano . (De hecho, la cuña de encogimiento no describe del todo lo que quieres, ya que la cuña no se ocupa de la tamaño de los círculos : la topología es un cociente [muy simple] de la topología de la unión disjunta).

En este artículo se da una descripción de $\pi_1(H)$ como un subgrupo del límite proyectivo de los grupos libres sobre un conjunto finito de generadores. (En particular, el artículo pretende demostrar que $\pi_1(H)$ no es gratis).

Answer 3

El grupo fundamental de la cuña infinita de círculos no es igual a $G=\prod_{i=1}^\infty\mathbb{Z}$ . Hatcher sólo afirma que $\pi_1(X)$ se proyecta sobre $G$ y que $\pi_1(X)$ es por tanto incontable. Los grupos fundamentales de $X$ es definitivamente mayor que $G$ pero probablemente no exista una buena representación de la misma.