Por qué $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k} = 2$?

Question

Alguien una idea de por qué $\dfrac{1}{2} +\dfrac{ 2}{4} + \dfrac{3}{8}+ \dfrac{4}{16} +\dfrac{5}{32} + \dots= 2$?

O, tal vez mejor escrito como $\sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{i}{2^i} = 2$.

Sé $1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

He leído en un libro, donde no hay pruebas de que fue dado (así que puede ser que falte algo obvio aquí).

Answer 1

$$|x|<1:\quad f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^n=\frac{x}{1-x}$$

$$xf'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}$$

Deje $x=\frac{1}{2}$

Answer 2

Desde el infinito de series de términos no negativos puede ser reorganizado de manera arbitraria,

$$\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{2^i} = \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^i \frac{1}{2^i} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=j}^\infty \frac{1}{2^i} = \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{2^{j-1}} = 2 $$

Más gráficamente,

  1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ...

= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...    (= 1)
      + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...    (= 1/2)           
            + 1/8 + 1/16 + ...    (= 1/4)
                  + 1/16 + ...    (= 1/8)
                        ....       ....

Answer 3

Deje $s = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + \dots$

A continuación, $2s = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + \dots$

Y luego restando términos similares denominador, se obtiene: $2s - s = 1 +1/2+1/4+1/8+1/16+\dots = 2$

Answer 4

Aquí está una prueba visual de que $$\frac14+\frac28+\frac3{16}+\frac{4}{32}+\frac{5}{64}+\cdots=1$$ which is the same relation after dividing by $2$ en cada lado:

Si no está claro cómo, aquí algunas zonas están etiquetados (aunque prefiero la estética de la etiqueta de la versión). Los rectángulos llenar esta $1\times1$ plaza, y para$i\in\mathbb{N}$, $i$ rectángulos de área $\frac{1}{2^{n+1}}$.

Answer 5

Un poco tarde.. pero todo el cálculo y el doble de las sumas no son necesarias.

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n+1}}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}+1$$

Por lo tanto $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=2$$