Después de remover cualquier parte del resto se puede dividir uniformemente. ¿Consecuencias?

Question

Que $S$ sea un conjunto finito de números reales no necesariamente distintas. Si se elimina cualquier elemento de $S$ los restantes números verdaderos puede dividirse en dos colecciones con el mismo tamaño y misma suma; ¿entonces es cierto que todos los elementos de $S$ son iguales? (Sé que el resultado es true si el "reales" son reemplazados por "enteros") Por favor ayuda.

Answer 1

Llame a un $n$-tupla ${\bf a}=(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in{\mathbb R}^n$ buena si se tiene la propiedad de la "colección" $S$ descrito en la pregunta. Luego, obviamente, $n$ es impar. Deje ${\bf 1}:=(1,1,\ldots,1)\in{\mathbb R}^n.$

Reclamación 0: Al ${\bf a}$ es buena, el $n$-tuplas $$\lambda{\bf a}+\mu{\bf 1}\qquad(\lambda, \mu\in{\mathbb R})$$ están bien así.

Reivindicación 1: Si ${\bf a}\in{\mathbb Z}^n$ es buena, ${\bf a}=a\>{\bf 1}$ algunos $a\in{\mathbb Z}$.

Prueba. Después de la adición de algunos ${\bf p}=p{\bf 1}$, $p\in{\mathbb Z}$, a ${\bf a}$ podemos asumir que todas las entradas de $a_k$ son no negativos. Llame a $|{\bf a}|:=\sum_{k=1}^n a_k$ la norma de ${\bf a}$. Procedemos por inducción sobre la norma. Al $|{\bf a}|=0$ la afirmación es verdadera. Por lo tanto suponer que la afirmación es verdadera para todos no negativos $n$-tuplas ${\bf a}'$$|{\bf a}'|<|{\bf a}|$. Desde $|{\bf a}|-a_k$ es incluso para todos los $k$ se sigue que todos los $a_k$ son incluso, o todos los $a_k$ son impares (donde $\geq1$). En el primer caso ${\bf a'}:={1\over 2}{\bf a}$, y en el segundo caso ${\bf a}':={\bf a}-{\bf 1}$, es un buen número entero no negativo $n$-tupla con los más pequeños de la norma. De ello se desprende que la pretensión tiene por ${\bf a}$.

Reivindicación 2: Si ${\bf a}\in{\mathbb Q}^n$ es buena, ${\bf a}=a\>{\bf 1}$ algunos $a\in{\mathbb Q}$.

Reivindicación 3: Si ${\bf a}\in{\mathbb R}^n$ es buena, ${\bf a}=\alpha\>{\bf 1}$ algunos $\alpha\in{\mathbb R}$.

Prueba. Deje ${\bf a}\in{\mathbb R}^n$ ser bueno. El conjunto $$V:=\left\{\sum_{k=1}^n r_k \ a_k\>\biggm|\>r_k\in{\mathbb Q}\right\}\subset{\mathbb R}$$ es un finitely generado espacio vectorial sobre ${\mathbb Q}$, de donde finito-dimensional. Deje $(e_i)_{1\leq i\leq r}$ ser una base de $V$, y deje $(\phi_i)_{1\leq i\leq r}$ la correspondiente base dual ($r$coordinar funcionales).

Desde ${\bf a}$ es bueno que se sigue por la linealidad que para cada una de las $i$ $n$- tupla $\bigl(\phi_i(a_1),\phi_i(a_2),\ldots,\phi_i(a_n)\bigr)\in{\mathbb Q}^n$ es bueno. La reivindicación 2, a continuación, implica que hay números $q_i\in{\mathbb Q}$ $\>(1\leq i\leq r)$ con $$\phi_i(a_k)=q_i\qquad(1\leq k\leq n)\ .$$ El último puede ser reescrita como $$a_k=\sum_{i=1}^r q_i\> e_i=:\alpha\in{\mathbb R}\qquad(1\leq k\leq n)\ ,$$ y esto es equivalente a ${\bf a}=\alpha\>{\bf 1}$.

Answer 2

Sí, todos los elementos de a $S$ debe ser igual.

Claramente, $S$ tiene un número impar de elementos; decir $S=\{x_1,\dots,x_{2n+1}\}$. La condición "si cualquier elemento de S es eliminado luego el resto de los números reales pueden ser divididos en dos colecciones con el mismo tamaño y la misma suma" significa que el vector columna $\mathbf X=[x_1,\dots,x_{2n+1}]^T$ satisface una ecuación de matriz de la forma $A\mathbf X=\mathbf0$ algunos $2n+1\times 2n+1$ matriz $A$ con todas las entradas de la diagonal $0$, todas las entradas fuera de la diagonal $\pm1$, e igual número de $+1$s y $-1$s en cada fila. Todo lo que tenemos que hacer es mostrar que dicha matriz debe tener rango de $2n$; a su derecha en el espacio nulo debe, entonces, ser $1$-dimensional, por lo que sólo contiene la constante de vectores $[x,x,\dots,x]^T$. De hecho, el trabajo en$\!\mod2\,$ aritmética para la simplicidad, es fácil ver que la matriz puede ser reducido mediante operaciones elementales con sus filas a una forma triangular superior con $2n$ queridos y un cero en la diagonal. (Es decir, de intercambio de las dos primeras filas, y restarlas de todas las filas por debajo de ellos; de intercambio de los próximos dos filas, y restarlas de todas las filas por debajo de ellos; y así sucesivamente.)

Para decirlo de manera más general, si $A$ es una matriz cuadrada de orden impar $2n+1$, y si todas las entradas de la diagonal son números enteros, y todas las entradas fuera de la diagonal son enteros impares, entonces el rango de a $A$ al menos $2n$.

Alternativamente, si la ecuación de $A\mathbf X=\mathbf0$ tenía una solución no constante, también habría un no constante entero solución; pero el OP ya ha demostrado (véase también JiK el comentario sobre la pregunta) el resultado para los números enteros.

Answer 3

No estoy seguro si sea cierto o no. Espero que esta ayuda. Creo que la afirmación es verdadera.

Tengo que utilizar su resultado.

Ver fácilmente que la propiedad es true si reales es reemplazado por racionales.

Lema 0: (si esto es incorrecto, usted no necesitará leer más)

Si S se ajusta a la propiedad, a continuación, $a S + b$ real $a$, $b$ también satisface la propiedad. Aquí $a S$${a s_1, a s_2, ...}$.

Yo ahora introducir algo de la llamada relación irracional. $r_1$ $r_2$ son relativos irracional si $a r_1+b \neq r_2$ para cualquier racional $a$, $b$. No sé si esto está bien definido. Si no, supongo que mi prueba fallará inmediatamente.

Reclamo: para cualquier x real, no es una secuencia finita de irracional $r_1$, $r_2$, $r_3$, ..., $r_n$ y una racional $q_0$ tal que $x=q_1 r_1 + ... + q_n r_n+q_0$ donde $q_1, ..., q_n$ son racionales. Para un finito número de la real en S, por supuesto, hay un número finito de $r$. Deje que el número de relativamente irracional se $n$. A continuación, para cualquier $s \in S$, $s=q_1 r_1 + ... + q_n r_n+q_0$ para algunos racionales $q_1, ..., q_n$.

Cuando nos eliminación arbitraria de los elementos de S, se puede dividir en dos colecciones con el mismo tamaño y la suma. Teniendo en cuenta que su suma, podemos encontrar que la suma de los coeficientes de $r_k$ de un lado es igual a la de los otros. También, la suma de racionales de un lado es igual a la otra.

Nos centramos en la suma de racionales en primer lugar. Es fácil ver que (o me equivoco) los términos racionales de cada una de las $s \in S$ son iguales, utilizando el resultado determinado, ya que la colección compuesta por racional parte de cada una de las $s \in S$ satisface la propiedad. Del mismo modo, para cualquier $r_k$, la colección compuesta por $q_k$ satisface la propiedad. A continuación, todos los $q_k$ son iguales en cada una de las $s \in S$.