Sobre el defecto de masa

Question

Así es como mi libro explica el defecto de masa:

Las partículas del interior del núcleo interactúan entre sí, se sienten atraídas. La energía potencial $U$ de dicha atracción es negativa, porque en ausencia de estas fuerzas consideramos que la energía potencial es cero. Así que podemos escribir la energía total como $$E=E_{rest}+U$$ Dividiendo $E$ por $c^2$ obtenemos la masa, y como $U<0$ la masa del núcleo es menor que la suma de los nucleones individuales.

Ahora, tengo problemas con el $U$ término. Sabemos que podemos elegir el nivel cero de PE de forma arbitraria. Por lo tanto, $E$ no se puede definir bien (hasta la constante). Sin embargo, las mediciones reales "obedecen" a la convención estándar de PE cero en el infinito. Entonces, ¿cómo puedo resolver la contradicción? (Obviamente, estoy equivocado, pero no entiendo por qué).

Esta pregunta me lleva a otra más general sobre la $E=mc^2$ relación. De ello se desprende que $m$ no tiene un valor determinado cuando se trata de energías potenciales. Sólo la cambiar en la masa importa, porque sólo el cambio en la energía potencial tiene significado físico (y puede definirse con precisión). Pero la masa es una cantidad que medimos todos los días con mucha precisión, y no hay ambigüedad en su valor, a pesar de que los sistemas que medimos incluyen muy a menudo algo de energía potencial.

Answer 1

No es posible medir la energía potencial porque tiene una simetría gauge (global). Es como intentar medir la altura de una montaña: puede ser la altura sobre el nivel del mar, la altura relativa a la fosa marina más profunda, la altura relativa al centro de la tierra, etc. Cualquier medición sólo puede medir el cambio de energía potencial, y por supuesto un cambio puede ser positivo o negativo, es decir, la energía potencial puede aumentar o disminuir.

Esta es mi forma preferida de entender el defecto de masa: empezar con las partículas separadas de masa combinada $M$ a gran distancia. Cuando las partículas se juntan se aceleran debido a la fuerza de atracción entre ellas, por lo que en el momento en que todas las partículas se encuentran tienen una gran energía cinética, $T$ . Para conseguir que las partículas formen un estado ligado necesitamos eliminar esta energía cinética $T$ y eso significa sacar una masa de $m = T/c^2$ - de ahí el defecto de masa.

La energía cinética total $T$ es sólo el negativo del cambio de energía potencial $\Delta U$ a medida que las partículas son llevadas desde el infinito al estado ligado. Es indiferente el valor que se asigne a $U(\infty)$ porque lo único que importa es el cambio $\Delta U$ .

Respuesta al comentario de user52153:

Supongamos que empezamos con dos partículas que se atraen. Podrían ser un electrón y un protón, o dos nucleones, aunque por comodidad supondré que tienen la misma masa $m_0$ . Comienza con las partículas estacionarias y lo suficientemente separadas como para que cualquier interacción sea despreciable. Entonces la energía total es sólo:

$$ E_0 = 2m_0c^2 $$

Ahora dejemos que las partículas se muevan juntas bajo su atracción mutua. La fuerza de atracción las acelerará, por lo que un tiempo después tendrán una energía cinética $T$ . Como no hemos metido ni quitado energía, la energía total debe ser la misma, por lo que debe haber una energía potencial (negativa) $U$ tal que:

$$ 2m_0c^2 + T + U = 2m_0c^2 = E_0 $$

En otras palabras $T + U = 0$ o $T = -U$ y recuerda que $U$ es un número negativo.

En este punto no hay déficit de masa porque la energía total no cambia. Ahora el usuario52153 propone que utilicemos algún mecanismo para sacar la energía cinética del sistema. No importa exactamente cómo lo hagamos: utilizamos la energía cinética para realizar un trabajo $W$ externo a nuestro sistema de dos partículas y seguimos haciendo este trabajo hasta que $W = T$ por lo que en este punto las partículas han sido puestas en reposo. Porque hemos tomado el trabajo $W = T$ fuera del sistema la energía total es ahora:

$$ E_1 = 2m_0c^2 + U $$

El déficit de masa $\Delta m = (E_0 - E_1)/c^2$ Así que..:

$$ \Delta_m = \frac{E_0 - E_1}{c^2} = \frac{(2m_0c^2) - (2m_0c^2 + U)}{c^2} = -\frac{U}{c^2} $$

y porque $U$ es un número negativo que significa $\Delta m$ es un número positivo, es decir, la masa total del sistema ha disminuido.

Answer 2

Si se utiliza la relatividad (que el uso de $E = mc^2$ implica), no podemos elegir el potencial de forma arbitraria, ya que la relación entre energía y masa hace que los valores absolutos de la energía sean medibles a través de las fuerzas gravitatorias ejercidas por la energía almacenada.

EDITAR :

Ya que lo has preguntado, lo explicaré con algo más de detalle:

Dejemos que $V : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$ sea un potencial que es cero en el infinito espacial, es decir $\lim_{\vec{x}\rightarrow\infty}V(x) = 0$ . Entonces, la clase de potenciales equivalentes (es decir, que producen la misma física) a éste sin gravedad es $\{V_k(x) | V_k(x) = V(x) + k, c\in \mathbb{R}\}$ . Con la gravedad, la relación energía-masa $E = mc^2$ nos dice que sólo se realiza uno de estos potenciales, ya que la masa es una cantidad medible. ¿Cómo podemos saber cuál es? Es sencillo:

Dejemos que $V_k$ sea la energía potencial realizada en la naturaleza. La energía de una partícula en el infinito espacial en reposo debe ser $E_0 = m_0c^2$ , donde $m_0$ es la masa en reposo. Su energía también es $lim_{\vec{x}\rightarrow\infty}V_k(x) + m_0c^2 = k + m_0c^2$ . Así, $k = 0$ . Si no cometí un error garrafal en alguna parte, esto demuestra que la energía potencial de una partícula debe desaparecer en el infinito espacial en las teorías gravitatorias.

Si te preguntas por qué las partículas que descansan en el infinito espacial deben tener $E_0$ como energía, es porque son indistinguibles de las partículas libres, y éstas provienen de una teoría en la que no hay ningún potencial.

Answer 3

Valores tabulados de los defectos de la masa nuclear incluyen de hecho un desplazamiento arbitrario. Por lo general, la norma es que un mol de carbono-12 pesa exactamente doce gramos, de modo que un protón o neutrón desnudo tiene un defecto de masa positivo, mientras que un núcleo fuertemente unido como el hierro o el níquel tiene un defecto de masa negativo. Al calcular el $Q$ -valores de decaimiento es sólo el diferencia en el defecto de masa que importa.

Se advierte que, en los núcleos, hay una sutil diferencia entre el defecto de masa y el energía de unión . La masa en reposo de una partícula (simple o compuesta) está siempre bien definida. Si se comparan las masas de un sistema compuesto y de sus constituyentes simples, se encuentra que el sistema compuesto ligado es menos masivo que los constituyentes aislados: por ejemplo, un átomo de carbono-12 en su estado básico es menos masivo que seis protones, seis neutrones y seis electrones. Esa diferencia de masa es la energía de enlace, su $U$ y no sufre el problema del cero arbitrario de las energías potenciales porque ya es un diferencia entre dos energías.

En las tablas de defectos de masa, como la que he enlazado anteriormente, el "defecto" es la diferencia entre la masa medida de un átomo neutro con $Z+N=A$ nucleones y la masa ingenua de $A$ unidades de masa atómica. El defecto de masa sería el mismo que la energía de enlace si el neutrón y el protón+electrón tuvieran ambos una masa en reposo de una amu, pero no es así: el protón+electrón juntos son unos 7 MeV más pesados que 1 amu, y el neutrón es unos 8 MeV más pesado que 1 amu. Sin embargo, como las reacciones nucleares conservan el número de bariones $A$ y la carga eléctrica, siempre se puede calcular la energía disponible en una reacción comparando los defectos de masa de los estados inicial y final. Esto es en realidad más robusta que la comparación de las energías de enlace ya que automáticamente tiene en cuenta la diferencia de las masas en reposo del neutrón y del protón.

Answer 4

Tomemos la ley de Newton para una partícula en relatividad especial $$F^\mu = \frac{d p^\mu}{d \tau} = \frac{d m_0}{d\tau} u^\mu + m_0\frac{du^\mu}{d\tau}$$ donde $F^\mu = - \partial^\mu V$ , $p^\mu = m_0 u^\mu = m_0 \gamma (c,\vec{v})$ y en nuestro marco de laboratorio $V(x,t) = V(x)$ . Tomando $m=m_0 \gamma$ y una transformación del tiempo propio de la partícula a nuestro tiempo de laboratorio $t$ ( $\frac{d}{d\tau} = \gamma \frac{d}{dt}$ ) obtenemos así una declaración de conservación de la masa (energía) $$F^0 =0 = c \gamma \frac{d m}{dt}$$

Ahora proyectamos toda la ley de Newton en la dirección de la cuatro-velocidad $u^\nu$ (suma con $u_\mu$ ). Utilizamos que $u^\mu u_\mu =-c^2 \,$ ( $-+++$ firma de la métrica), $u^\mu a_\mu = 0$ , se transforman en tiempo de laboratorio y se obtienen $$ - \gamma \vec{v} \cdot \nabla V = -c^2 \gamma \frac{dm_0}{d t}$$ Esto se puede simplificar y reescribir como $$\frac{d V(x(t))}{dt} = \frac{d (m_0 c^2)}{dt}$$ O $$\Delta V = \Delta m_0 c^2$$ Sin embargo, hay que tener en cuenta que en este proceso siempre hemos $\Delta m = 0$ debido a $F^0 = 0$ . Por lo tanto, debe haber una partícula (digamos un fotón) emitida en un proceso separado para llevarse todo el momento y $T = mc^2 - m_0 c^2$ .

Considerando una partícula en reposo en el infinito podemos escribir para su masa después de ser ligada $$m^{bound}c^2 = m_0^{bound}c^2 + (m_0^{bound} - m^{bound})c^2 = m_0^{\infty}c^2 + \Delta V + \Delta T \; \; \; (*)$$ donde identificamos la energía cinética $\Delta T=(m_0^{bound} - m^{bound})c^2$ porque es el único término que depende de la velocidad, y el $\Delta$ representa el hecho de que el mismo término era cero antes de ser atado. Antes de emitir un fotón tendremos $\Delta T = -\Delta V$ para que $\Delta m=0$ se aplica.

Naturalmente, llamamos $\Delta E \equiv \Delta T + \Delta V$ . Es fácil generalizar que $$(mc^2)^{after} = (mc^2)^{before} + \Delta E,\, \to \Delta E = \Delta mc^2$$ Por tanto, no es necesario invocar un valor absoluto de $E$ o $V$ en absoluto, lo que significa que sí pueden definirse hasta constantes arbitrarias. Por lo tanto, es más exacto decir que $$E = mc^2 + C$$ Y no hay $V$ ¡! ¿Cómo es eso? En su libro de texto, por $E_{rest}$ que realmente quieren decir energía en reposo de la partícula transportada desde el potencial hasta el infinito es decir $m_0^{\infty}c^2$ . Por lo tanto, utilizando la ecuación $(*)$ y deshacerse de la energía cinética $\Delta T = 0$ obtenemos $$E = mc^2 + C = m_0^{\infty}c^2 + \Delta V + C$$

Así que en su libro de texto $U(\infty)=C$ y la única justificación de ponerlo a cero es fuerza la relación $E=mc^2$ para aplicar. Por otro lado, la masa no tiene este tipo de libertad porque es absoluto define la respuesta dinámica local de la partícula. Así que se puede repetir todo el argumento del libro de texto simplemente sustituyendo $E\to mc^2$ y su problema está resuelto.

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EDIT: Este post ha sido completamente revisado dos veces desde su creación. En primer lugar, se ha eliminado un argumento erróneo y, en segundo lugar, se ha añadido una derivación matemática de los hechos expuestos. (Nótese que en la versión anterior del post he utilizado descuidadamente $m_0$ como $m_0^{\infty}$ .)