Fijación galvánica de un campo arbitrario

Question

¿Cómo contar el número de grados de libertad de un campo arbitrario (vectorial o tensorial)? En otras palabras, ¿cuál es el procedimiento matemático de fijación del gauge?

Answer 1

Tal vez, será particularmente la respuesta a su pregunta.

Es conveniente clasificar los campos debido a la clasificación de Wigner de la representación del grupo de Poincare. En primer lugar, supongamos sólo el caso sin masa. En este caso no hay operador de Casimir de masa $\hat {P}^{2}$ y el operador de espín Casimir $\hat {W}^{2}$ pero el operador de Pauli-Lubanski es proporcional al operador de 4 impulsos con el factor $\hat {h} = \frac{(\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf p})}{|\mathbf p|}$ que se llama helicidad. Es un operador invariante (para campos sin masa), por lo que podemos clasificar los campos por él. El estado con helicidad fija puede estar conectado sólo con el estado con la helicidad opuesta; esto es posible si la teoría es invariante bajo inversiones espaciales. Por lo tanto, sólo hay dos grados de libertad (máximos) para un campo sin masa de un espín arbitrario. Con esta interpretación se puede entender el procedimiento de fijación de la galga sólo como el criterio de irreducibilidad (masa-cero) de la representación (del grupo de Poincare) del campo, y la respuesta a tu pregunta sobre el recuento de los grados de libertad es siempre dos.

Para entender mejor cómo la fijación gauge disminuye el número de libertad supongamos el espín masivo- $s$ caso. Utilicemos el condiciones de irreductibilidad $(1)-(4)$ para ello. Sólo dejan $2s + 1$ grados de libertad (al principio había $4^{s}$ componentes). Después de eso vamos a establecer la masa $m$ en $(1)$ a cero. Entonces la condición $(2)$ cortará un grado de libertad adicional.

Por ejemplo, el campo de giro-uno: $$ \tag 5 (\partial^{2} + m^{2})A_{\mu} = 0, \quad \partial_{\mu}A^{\mu} = 0, $$ por lo que hay tres grados de libertad.

Vamos a establecer $m$ a cero. Entonces implica una libertad gauge adicional, y podemos establecer $u^{\mu}A_{\mu} = 0$ para un vector de 4 tiempos arbitrario $u_{\mu}$ . Disminuye el número de grados de libertad en uno. Es posible porque hay transformaciones $A_{\mu} \to A_{\mu} + \partial_{\mu} f$ que puede satisfacer la primera ecuación de $(5)$ . Así que tenemos dos grados de libertad.

Campo de giro-dos: $$ \tag 6 (\partial^{2} + m^{2})A^{\mu \nu} = 0, \quad A^{\mu \nu} = A^{\nu \mu}, \quad \partial_{\nu}A^{\mu \nu} = 0, \quad A_{\mu}^{\mu} = 0. $$ El segundo deja 10 grados de libertad, el tercero deja 6 grados y el último deja 5 grados.

Vamos a establecer $m$ a cero. Entonces podemos establecer $u_{\mu}A^{\mu \nu} =0$ que recortará 3 grados de libertad adicionales (el cuarto es igual a uno de $\partial_{\mu}A^{\mu \nu} = 0$ Así que volvemos a tener 2 grados. Es posible porque hay transformaciones gauge $A_{\mu \nu} \to A_{\mu \nu} + \partial_{\mu} f_{\nu} + \partial_{\nu} f_{\mu}$ que puede satisfacer la primera ecuación de $(5)$ .