A.e. pointwise convergencia y dominación casi implica la convergencia uniforme

Question

Antecedentes: estoy en un curso sobre teoría de la medida preparando para un examen por hacer problemas fuera de terence tao de la página web. aquí es una cuestión copia de sus notas que no soy capaz de resolver. He notado que la hipótesis implican $L^{1}$ convergencia, así como la convergencia en medida. Casi de manera uniforme se define en el sentido de que la conclusión de Egorova del teorema. Agradezco cualquier ayuda. El nivel de mis conocimientos es haber hecho una buena cantidad de Royden, esencialmente sé teoría de la medida en la recta real y no soy de experiencia con espacios abstractos.

"${f_{n}}_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de lo que $f : E \to \mathbb{R}$, cada una de las $f_{n}$ es medible y para todos $n$, $|f_{n}|\le g$ para $g$ absolutamente integrable. $f$ es otra función medible, y $f_{n} \to f$ pointwise una.e. Espectáculo $f_{n} \to f$ casi uniformemente."

Gracias a todos por sus útiles comentarios. Yo también he aprendido de la necesidad de "Aceptar" las respuestas, así que voy a hacerlo por las buenas respuestas.

Answer 1

Este es el teorema de convergencia dominada de Egorov.

Que $N=\bigl\{x\in E\mid \{f_n(x)\}\text{ does not converge to }f(x)\bigr\}$. Desde $|f|\leq g$ $E-N$, contamos con %#% $ $$|f_n-f| \leq |f_n|+|f|\leq 2g$ #%. Fijar $E-N$ y que $\epsilon\gt 0$ $ entonces $$D_k(\epsilon) = \{x\in E\mid |f_k(x)-f(x)|\geq \epsilon\}.$ $ por lo tanto, desigualdad de $$D_k(\epsilon)-N \subseteq \{x\in E\mid 2g(x)\geq \epsilon\}$ $ por Chebyshev, $$\bigcup_{k=1}^{\infty} D_k(\epsilon) - N \subseteq \{x\in E\mid 2g(x)\geq\epsilon\}.$ $ (desde $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} D_k(\epsilon)\right) \leq \mu\Bigl(\bigl\{ x\in E\mid 2g(x)\geq \epsilon\bigr\}\Bigr) \leq \frac{1}{\epsilon}\int (2g)d\mu\lt\infty$).

Por otro lado, $g\in \mathcal{L}^1$ $ es un conjunto medible de medida cero, ya que converge la $$\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}D_k(\epsilon)$ $f_n$ casi en todas partes; por lo tanto, $f$. Se procede como en Teorema de Egorov concluir que tienes convergencia casi uniforme.