Límite de $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^3}\right)\dots \left(1-\frac{1}{n^n}\right)$ $n\to \infty$

Question

Así que estoy tratando de resolver el siguiente límite:

$$\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^3}\right)\dots \left(1-\frac{1}{n^n}\right)$$

Ahora, he intentado conseguir el teorema del apretón alrededor de éste, ya que se siente algo por el teorema del apretón. El límite superior es obviamente $1$, pero puesto que cada término disminuye el producto, puede parecer que esto acerca a cero?

Answer 1

$$\begin{align} \prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac1{n^n}\right) &\ge\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac1{n^2}\right)\\ &=\lim_{m\to\infty}\prod_{n=2}^m\frac{n-1}n\frac{n+1}n\\ &=\lim_{m\to\infty}\prod_{n=2}^m\frac{n-1}n\prod_{n=2}^m\frac{n+1}n\\ &=\lim_{m\to\infty}\frac1m\frac{m+1}2\\[6pt] &=\frac12 \end {Alinee el} $$ para el producto converge (es decir, limita de $0$). Sin embargo, numéricamente, el producto es aproximadamente el $0.71915450096501024665446931$ y la Calculadora simbólica inversa no encuentro nada para este número.

Answer 2

Que la expresión dada sea $f(x)$. Por lo que es menos de $1.1....1=1$ (quitando el - ve parte) nuevo es mayor que $\left(1-\frac{1}{(2^2)}\right)... \left(1-\frac{1}{(n^2)}\right)$ ambos dichos límites cuando n ~ > 0 son 1 por Teorema de sandwich, $\lim_{n \rightarrow \infty}f(x) = 1$