Cruce de variedades afines es afine

Question

Deje $M,N\subset\mathbb{P}^n$ quasiprojective variedades que existen isomorphisms $i\colon M\rightarrow Z(a)\subset \mathbb{A}^m$ $j\colon N\rightarrow Z(b)\subset \mathbb{A}^m$ de los ideales de la $a,b\subset k[x_1,...,x_m]$ (aquí se $Z(a)$ denota el conjunto de los ceros de las funciones en el ideal de $a$). Demostrar que $M\cap N$ es isomorfo a un afín set $Z(c)\subset \mathbb{A}^k$ algunos $k$ y algunos $c\subset k[x_1,...,x_k]$.

Sé que la intersección de cero conjuntos es de nuevo un ajuste a cero, pero aquí yo no puedo asumir que el cero conjuntos de $Z(a)$ $Z(b)$ aún no tienen intersección vacía. Componer los mapas $i$ $j^{-1}$ podemos encontrar y isomorfismo entre los subconjuntos de a $Z(a)$ $Z(b)$ correspondiente a la imagen de $M\cap N$. Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Considerar el % de morfismo diagonal $M\cap N\to M\times N$donde $x\mapsto(x,x)$. Desde $M$ y $N$ son afines, por lo tanto es $M\times N$. Vemos que el $M\times N\subseteq\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^n$. $\Delta$ Sea la diagonal; está cerrado desde $$\Delta=\{([x_0:\cdots:x_n],[y_0:\cdots:y_n])\in\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^n:x_iy_j-x_jy_i=0,i,j=0,\ldots,n\}.$ $ por tanto $$M\cap N\simeq (M\times N)\cap\Delta$ $ que es un subconjunto cerrado de una variedad afín y por lo tanto es afín.

Nota: Aviso que esta prueba funciona cuando tu $M$ y $N$ viven dentro de algo (es decir, un esquema o variedad) donde la diagonal es cerrada. Esto es esencialmente qué separatedness.