Matrices con las columnas que son vectores propios

Question

En esta pregunta, el OP pregunta acerca de encontrar la matriz exponencial de la matriz $$M=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}.$$ It works out quite nicely because $M^2 = 3 M$ so $M^n = 3^{n-1}M$. The reason this occurs is that the vector $$v = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$$ is an eigenvector for $M$ (with eigenvalue $3$). The same is true of the $n\times n$ matriz que consta de todos los queridos y el vector correspondiente. Con esto en mente, les pido lo siguiente:

1. Podemos encontrar un formulario estándar para un $n\times n$ matriz con la propiedad de que cada una de sus columnas son los vectores propios? (Agrega más adelante: Esto puede ser más fácil de responder si permitimos que las columnas de cero vectores. Gracias Adam W por el comentario.)

2. Lo que sobre el caso cuando se requiera que todos los vectores propios que corresponden a un mismo autovalor?

Las matrices en la segunda pregunta son precisamente aquellos para los que el cálculo de la matriz exponencial sería análoga a la de $M$ anterior.

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Añadido posterior: En Hurkyl la respuesta, él/ella es la muestra de que una matriz invertible de satisfacciones 1 es diagonal. Para el caso de $n=2$, es bastante fácil ver que cualquier no invertible la matriz satisface 1 (que es generalizado por la situación en Seirios la respuesta).

Sin embargo, para $n > 2$, no todas las personas no es invertible la matriz satisface esta propiedad (como uno podría esperar). Por ejemplo,

$$M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Answer 1

Si cada una de las columnas de $A$ es vectores propios de $A$, entonces

$$ AA = AD $$

donde $D$ es la matriz diagonal de los valores propios correspondientes. Por lo que la matriz exponencial es fácil de calcular:

$$ A^n = A D^{n-1}$$

Como una respuesta parcial al describir que matrices tienen esta propiedad, si $A$ es invertible, entonces realmente debemos tener $A = D$. Además, cada matriz diagonal tiene la propiedad indicada.

Answer 2

Las dos respuestas (a lo largo de la diagonal de la matriz a la Hurkyl la respuesta y el rango de una matriz a de la Seirios la respuesta) pueden ser combinados como tal: un bloque de matriz diagonal con los bloques de clasificar a una forma. Lo llaman el rango de uno de los bloques de la diagonal.

La siguiente es una revisión de la descomposición espectral. Tal vez alguien la puede usar para encontrar otras posibilidades o para demostrar que el rango de uno de los bloques de la diagonal es la única posibilidad.

Deje $\mathbf{r}_i$ ser los vectores fila que están a la izquierdavectores propios $$\mathbf{r}_i A= \lambda_i\mathbf{r}_i$$ Deje $\mathbf{c}_i$ ser los vectores columna que está a la derechavectores propios $$A\mathbf{c}_i = \mathbf{c}_i \lambda_i$$ Luego tenemos a la descomposición espectral $$A = \sum_{i=0}^{d} \mathbf{c}_i \lambda_i \mathbf{r}_i$$ con $$ \mathbf{r}_n \mathbf{c}_m=\cases{ 0 & for $n \ne m$ \\ \lambda_n & for $n=m$ \\}$$

La última instrucción de la siguiente manera a partir de la descomposición. Pensar en el $\mathbf{c}_i$ "selectores" en la multiplicación $\mathbf{r}_i A = \lambda_i \mathbf{r}_i$ ya que todos los términos en la suma de $(\mathbf{r}_i A) = \sum k_n \mathbf{r}_n$ son iguales a cero, excepto el término de índice $i$ es decir $k_i = \lambda_i$.

Para cualquier columna de $A$ a ser un autovector, a continuación, en la fila correspondiente autovector debe contener el valor de $1$ para que el índice de columna. Creo que esta observación podría ser la dirección a seguir para una prueba de que el rango de uno de los bloques de la diagonal de la matriz sería la única matriz con las propiedades descritas.

Answer 3

Otra respuesta parcial: se puede observar que las matrices de rango 1 son tales ejemplos.

De hecho, si $M$ es de rango 1, sus columnas son de la forma $a_1C,a_2C,...,a_nC$ un vector dado $C \in \mathbb{R}^n$; Si $L=(a_1 \ a_2 \ ... \ a_n)$, entonces el $M=CL$.

Así $MC=pC$ con el % de producto interno $p=LC$. Además, $M^n=p^{n-1}M$.