Análogo de $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ para las series L de Dirichlet de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ?

Question

Considere la dos caracteres de Dirichlet de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ .

$$ \begin{array}{c|ccr} & 0 & 1 & 2 \\ \hline \chi_1 & 0 & 1 & 1 \\ \chi_2 & 0 & 1 & -1 \end{array} $$

He leído que las funciones L de estas series tienen valores especiales

• $ L(2,\chi_1) \in \pi^2 \sqrt{3}\;\mathbb{Q} $
• $ L(1,\chi_2) \in \pi \sqrt{3}\;\mathbb{Q} $

En otras palabras, estas cifras son $\pi^k \times \sqrt{3} \times \text{(rational number)}$ . ¿Existe una forma de derivar esto similar a la famosa $\zeta(2) = \tfrac{\pi^2}{6}$ ¿fórmula?

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Aquí están 14 pruebas de $\zeta(2) = \tfrac{\pi^2}{6}$ como referencia

Answer 1

Lo tenemos: $$L(2,\chi_1)=\sum_{j=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{(3j+1)^2}+\frac{1}{(3j+2)^2}\right)=-\int_{0}^{1}\frac{(1+x)\log x}{1-x^3}\,dx$$ y la integración por partes da: $$\begin{eqnarray*}\color{red}{L(2,\chi_1)}&=&-\int_{0}^{1}\frac{\log(1-x)}{x}\,dx+\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{\log(1-x^3)}{x}\,dx\\&=&-\frac{8}{9}\int_{0}^{1}\frac{\log x}{1-x}=\frac{8}{9}\zeta(2)=\color{red}{\frac{4\pi^2}{27}.}\end{eqnarray*}$$ Con una técnica similar: $$L(1,\chi_2)=\sum_{j=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{3j+1}-\frac{1}{3j+2}\right)=\int_{0}^{1}\frac{1-x}{1-x^3}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x+x^2}$$ Así que..: $$\color{red}{L(1,\chi_2)}=\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{x^2+3/4}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\sqrt{3}=\color{red}{\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.}$$

Answer 2

Después de pensarlo un rato:

$$ L(\chi_1,2) = \tfrac{1}{1^2} + \tfrac{1}{2^2} + 0 + \tfrac{1}{4^2} + \tfrac{1}{5^2} + 0 + \dots = \sum \frac{1}{n^2} - \sum \frac{1}{(3n)^2} = \left( 1 - \frac{1}{9}\right) \sum \frac{1}{n^2} = \frac{8}{9} \zeta(2)$$

Answer 3

Vemos que \begin {align} \frac {1}{2 \pi i} \oint_ {C_N} \frac { \pi\cot ( \pi z)}{(3z+1)^2}{ \rm d}z &= \operatorname *{Res}_{z=-1/3} \frac { \pi\cot ( \pi z)}{(3z+1)^2}+ \sum ^ \infty_ {n=- \infty } \frac {1}{(3n+1)^2} \\ &=- \frac {4 \pi ^2}{27}+ \sum ^ \infty_ {n=- \infty } \frac {1}{(3n+1)^2} \\ &=0 \end {align} y \begin {align} \frac {1}{2 \pi i} \oint_ {C_N} \frac { \pi\cot ( \pi z)}{(3z+2)^2}{ \rm d}z &= \operatorname *{Res}_{z=-2/3} \frac { \pi\cot ( \pi z)}{(3z+2)^2}+ \sum ^ \infty_ {n=- \infty } \frac {1}{(3n+2)^2} \\ &=- \frac {4 \pi ^2}{27}+ \sum ^ \infty_ {n=- \infty } \frac {1}{(3n+2)^2} \\ &=0 \end {align} Esto implica $$L(2,\chi_1)=\frac{1}{2}\left(\frac{4\pi^2}{27}+\frac{4\pi^2}{27}\right)=\frac{4\pi^2}{27}$$ De la misma manera, \begin {align} \frac {1}{2 \pi i} \oint_ {C_N} \frac { \pi\cot ( \pi z)}{3z+1}{ \rm d}z &= \operatorname *{Res}_{z=-1/3} \frac { \pi\cot ( \pi z)}{3z+1}+ \sum ^ \infty_ {n=- \infty } \frac {1}{3n+1} \\ &=- \frac { \pi }{3 \sqrt {3}}+ \sum ^ \infty_ {n=- \infty } \frac {1}{3n+1} \\ &=0 \end {align} y \begin {align} \frac {1}{2 \pi i} \oint_ {C_N} \frac { \pi\cot ( \pi z)}{3z+2}{ \rm d}z &= \operatorname *{Res}_{z=-2/3} \frac { \pi\cot ( \pi z)}{3z+2}+ \sum ^ \infty_ {n=- \infty } \frac {1}{3n+2} \\ &= \frac { \pi }{3 \sqrt {3}}+ \sum ^ \infty_ {n=- \infty } \frac {1}{3n+2} \\ &=0 \end {align} Por lo tanto $$L(1,\chi_2)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}-\left(-\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\right)\right)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$