¿Cómo encontrar x y y coordenadas basan en la distancia dada?

Question

El problema dice: Encontrar el punto (coordenadas $(x,y)=~?$) que es simétrico al punto de $(4,-2) $ considerando la ecuación dada $y=2x-3$ He encontrado la línea perpendicular a la pendiente $y=-~\frac{1}{2}x$ y el punto de intersección que se muestra en el gráfico de $\left(\frac{6}{5},\frac{-3}{5}\right)$

Estoy de alguna manera incapaces de encontrar el $x$ $y$ he encontrado la distancia a partir del punto y la distancia del punto ecuación:$$d(p_1,p_2)= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{\left(\frac{6}{5}-4\right)^2+\left(-\frac{3}{5}+2\right)^2}= \frac{7\sqrt{5}}{5}$$ $$d_1=d_2=d(p_1,p_2)$$

Así que ahora sé que la distancia, el min. la distancia hasta el punto desconocido es el mismo.

¿Cuál es la forma más fácil de encontrar simétrica $x$ $y$ coordenadas?

(Este es un problema de la escuela)

Answer 1

Creo que estás sobre-pensar. Cuando usted tiene el punto de intersección y otro punto, que acaba de duplicar la diferencia para llegar al punto en el otro lado.

$(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}) - (4, -2)$ $(-\frac{14}{5}, \frac{7}{5})$

Que es lo que usted necesita para agregar el punto de llegar a su punto de intersección, para añadir que su punto de intersección, o el doble y agregar a el punto inicial para obtener el punto en el otro lado:

$(-\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$

Otra opción sería sólo para calcular la x de la diferencia y el doble de lo opuesto a la coordenada x y el pop que en su línea perpendicular a la ecuación.

Completo:

Inicial de la ecuación: $y = 2x - 3$

Punto: $(4, -2)$

Por lo que cualquier ecuación de la perpendicular a la primera tendrá pendiente $-\frac{1}{2}$ como usted sugiere. Puede que ya haya encontrado el pleno de la ecuación de la línea para encontrar tu punto de vista, enchufe, pero en el $y$ valor para el punto de -2 y resolver para b:

$y = -\frac{1}{2}x$ + b

$b=y +\frac{1}{2}x$

$b=-2 + \frac{1}{2}4$

$b= 0$

Por tanto, la fórmula para la línea perpendicular que pasa por el punto a $(4, -2)$ $y = -\frac{1}{2}x$

Problemas para encontrar el punto de intersección para obtener el $x$ establece que ambas ecuaciones sean iguales y resolver para x:

$2x - 3 = -\frac{1}{2}x$

$\frac{5x}{2} = 3$

$5x = 6$

$x = \frac{6}{5}$

El taponamiento de que en cualquiera de la ecuación nos da su punto de intersección:

$(\frac{6}{5},-\frac{3}{5})$

Ok, así que ahora, ¿cómo encontrar un punto a la misma distancia de la perpendicular de la línea que pasa a través de $(4, -2)$? Para llegar desde $(4, -2)$ $(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5})$tienes que mover $\frac{6}{5} - 4$ en la dirección x y $-\frac{3}{5} - -2$ en la dirección de y, o $(-\frac{14}{5}, \frac{7}{5})$

Añadir que para el punto de intersección y se obtiene el punto en el lado opuesto, $(-\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$. Conecte el valor de x en su perpendicular ecuación:

$y = -\frac{1}{2}x$

$y = (-\frac{1}{2}) (-\frac{8}{5}$)

$y = \frac{8}{10}$

$y = \frac{4}{5}$

Answer 2

% Punto de $C$$\left(\frac{6}{5},\frac{-3}{5}\right)$de coordenadas es el punto medio del segmento definido por $(x,y)$ (llamado $U$ para el desconocido) y $(4,-2)$ (llamado $A$). Así $x_C = (x+4)/2$ y lo mismo para $y_C $.

Para el proceso de reescritura: verifica de $C$ $y_c = 2x_c-3$. También, el $\vec{AC}$ del vector es ortogonal a la cuesta de esta línea, por lo tanto el producto escalar da % o $(x_c-4).1+(y_c+2).2=0$ $x_c+2y_c=0$. Ahora sólo tienes que enchufar a $x=2x_c-4$ y $y=2y_c+2$, que te $\vec{UC}=\vec{CA}$.

Answer 3

Manera rápida alternativa: llamar a $x_0$ y $y_0$ las coordenadas del punto simétrico, el método más sencillo es tener en cuenta que las diferencias en el $x $ y $y $-coordenadas del punto buscado $( \frac{6}{5}, -\frac{3}{5})$ deben ser igual entre este último punto y $(4,-2) $. Por lo tanto:

$$ 4-\frac{6}{5} = \frac{6}{5} -x_0$$

$$ y_0 - \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5} - \left(-2\right) $$

Ahora resuelve estas ecuaciones para encontrar las coordenadas.

Answer 4

No es tan complejo como usted piensa después de que has encontrado el punto medio.

El punto medio es el promedio de los dos puntos finales.

Así $(x+4, y-2) = 2*(6/5, -3/5)$

Answer 5

Deje $A = (4,-2)$$B = (\frac65, -\frac35)$, y deje $C$ denotar la imagen en el espejo de $A$ con respecto al $B$ que queremos encontrar.

La observación clave es que no sólo son las distancias $d(A,B)$ $d(B,C)$ igual, pero los vectores $\vec{AB}$ $\vec{BC}$ son paralelos y de igual longitud, y por lo tanto también de la igualdad:

       

Por lo tanto, se puede calcular simplemente: $$ \vec{BC} = \vec{AB} = B-A = \left(\frac65, -\frac35\right)-(4,-2) = \left(-\frac{14}{5}, \frac75\right) $$ and then: $$ C = B + \vec{BC} = \left(\frac65, -\frac35\right) + \left(-\frac{14}{5}, \frac75\right) = \left(-\frac85, \frac45\right).$$