¿Por qué las ecuaciones de Maxwell contienen una ecuación escalar, una vectorial, una pseudovectorial y una pseudoescalar?

Question

Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, son

$$\left\{\begin{align} \vec\nabla\cdot\vec{E}&=~\rho/\epsilon_0,\\ \vec\nabla\times\vec B~&=~\mu_0\vec J+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\vec E}{\partial t},\\ \vec\nabla\times\vec E~&=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\\ \vec\nabla\cdot\vec{B}~&=~0, \end{align}\right.$$

que son, respectivamente, ecuaciones escalares, vectoriales, pseudovectoriales y pseudoescalares. ¿Se trata de una mera coincidencia o hay una razón más profunda para tener una ecuación de cada tipo?

Si no me equivoco, estos objetos corresponden (o, al menos, se puede hacer una correspondencia con) los rangos de formas diferenciales sobre una variedad tridimensional, así que supongo que podría haber alguna conexión con la formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de formas diferenciales . Si este es el caso, ¿existe una físico razón por la que nuestra expresión de las ecuaciones resulta con una de cada rango de ecuación, o es algo puramente matemático?

Como nota final, también podría estar totalmente equivocado sobre el rango de cada ecuación. Me guío por el contenido del lado derecho. (Por ejemplo, una "densidad de carga magnética" sería pseudoescalar).

Answer 1

En el espacio 3 puede interpretar que la 4 ecuación de Maxwell determina la relación entre los campos (el vector campo eléctrico y el bivector campo magnético) y los cuatro tipos de fuentes posibles.

Pero esto es bastante ilusorio. En la relatividad, las ecuaciones son muy diferentes:

$$\begin{align*} \nabla \cdot F &= -\mu_0 J \\ \nabla \wedge F &= 0\end{align*}$$

donde $F$ es el bivector del campo electromagnético. El vector derivado $\nabla$ sólo puede aumentar o disminuir el grado de un objeto en 1. Puesto que $F$ es de grado 2, la ecuación de divergencia describe su relación con un término fuente de grado 1 (el vector cuatro-corriente $J$ ). La ecuación del rizo describe su relación con un término fuente de grado 3 (trivector) (del que no hay ninguno).

La razón por la que las 4 ecuaciones de Maxwell en el 3-espacio salen como salen es que ignoramos el vector de base temporal, que unificaría la densidad de carga escalar con la 3-corriente como la cuatro-corriente, así como unificaría el campo E con el campo B como un bivector. La formulación relativista, sin embargo, es considerablemente más sensata, ya que presenta correctamente el campo EM como un objeto de un solo grado (un bivector), que sólo puede tener dos fuentes (vector o trivector). Sucede que el campo EM no tiene fuente trivectorial.

¿Y si hubiera fuentes trivectoras? Bueno, como observas, habría densidad de carga magnética (monopolos), pero también habría bastante más . También tendría que haber corriente magnética, lo que añadiría un término extra al $\nabla \times E$ ecuación para simetrizar completamente las cosas.

Answer 2

En la formulación multivectorial del electromagnetismo desarrollada por David Hestenes, sólo hay una ecuación: $\Box F = J$ .

F y J son objetos espacio-temporales. F es un "bivector", una entidad antisimétrica de 2º orden, muy parecida a la habitual $F_{\mu\nu}$ en la relatividad. Mirando sus partes espacio y tiempo por separado, tiene una parte vectorial, $\vec E$ (en realidad un bivector tiempo-espacio) y una parte vectorial axial $\vec B$ (en realidad un bivector espacio-espacio). $J$ es un cuatro vector, que por supuesto en la visión espacio + tiempo es una densidad de carga escalar más una densidad de corriente vectorial.

En álgebra multivectorial, cuando multiplicamos dos vectores el resultado es la suma de los productos interior (punto) y exterior (cruz), creando una entidad con una parte escalar y otra bivectorial. Se obtienen dos ecuaciones en tres espacios + tiempo, por el precio de una ecuación multivectorial en el espaciotiempo. La dirección $\Box$ El operador diferencial se aplica así, haciendo una divergencia y un producto cruzado. Las dos partes de $F$ y las dos formas de aplicar $\Box$ dan como resultado cuatro ecuaciones, las conocidas de Maxwell.

Esto puede parecer un galimatías a quien no esté familiarizado con él. Es una forma de Álgebra de Clifford. Libro: Space-Time Algebra por David Hestenes, Gordon and Breach 1966. Tiene numerosos artículos en revistas académicas que no tengo tiempo de buscar ahora.

Answer 3

Efectivamente, hay una razón para ello. En primer lugar, traduzcamos las ecuaciones de Maxwell al lenguaje de las formas diferenciales en el espacio 3 euclídeo ( no espacio-tiempo de Minkowski): $$ {\rm d}B = 0 \qquad {\rm d}E + \frac{\partial B}{\partial t} = 0 \\ \star{\rm d}\star E = \rho \qquad \star{\rm d}\star B - \frac{\partial E}{\partial t} = J $$ en términos de la 1-forma eléctrica $E$ y la 2-forma magnética $B$ .

La ventaja es que el álgebra exterior es graduada, y podemos combinar estas ecuaciones en una sola sin que interfieran los términos de las cuatro ecuaciones.

Somos libres de elegir los prefactores (en particular los signos) como mejor nos parezca. Las combinaciones interesantes que se me ocurren son $$ (\star{\rm d}\star - {\rm d} - \frac{\partial}{\partial t})(E + B) = \rho + J $$ y $$ (\star{\rm d}\star - {\rm d} + \frac{\partial}{\partial t})(E - B) = \rho - J $$ que corresponden más o menos a las ecuaciones combinadas de Maxwell en representación bivectorial y de 2 formas. Las primeras podrían escribirse como $$ {\rm D}F = J $$ en términos de álgebra geométrica y la segunda como $$ (\delta + d)F = J $$ en términos de formas diferenciales y codiferenciales $\delta$ tanto en el espacio-tiempo de Minkowski como con definiciones de $F$ y $J$ apropiado para el formalismo elegido.

Así que, básicamente, estamos fingiendo relaciones relativistas sobre la geometría euclidiana. Por ejemplo, la longitud invariante del "4-vector $\rho + J$ puede expresarse en el álgebra exterior como $$ (\rho + J)\wedge\star(\rho - J) = \star(\rho^2 - \langle J,J\rangle) $$

Answer 4

Esto no es del todo una coincidencia. En covariante (espacio-tiempo relativista), las ecuaciones escalares y vectoriales (las ecuaciones con un término fuente) se combinan en una ecuación tensorial espacio-temporal, y lo mismo ocurre con las ecuaciones pseudovectoriales y pseudoescalares (las ecuaciones sin fuente).