Estoy tratando de entender el camino de Feynman integral mediante la lectura del libro de León Takhtajan.
Uno de los ejemplos, hay una explicación completa del cálculo de la propagador
$$K(\mathbf{q'},t';\mathbf{q},t) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}(\mathbf{q'}-\mathbf{q})-\frac{\mathbf{p}^2}{2m}T)} d^n\mathbf{p},\quad T=t'-t.$$
en el caso de una partícula cuántica con el operador Hamiltoniano
$$H_0 = \frac{\mathbf{P}^2}{2m},$$
y la solución está dada por
$$K(\mathbf{q'},t';\mathbf{q},t) = \left(\frac{m}{2\pi i \hbar T}\right)^{\frac{n}{2}} e^{\frac{im}{2\hbar T}(\mathbf{q}-\mathbf{q'})^2}.$$
Podría usted por favor me ayudan a entender cómo se realiza el cálculo en el caso de que el Hamiltoniano es dada por
$$H_1 = \frac{\mathbf{P}^2}{2m} + V(\mathbf{Q})$$
donde $V(\mathbf{Q})$ es el potencial definido por
$$ V(\mathbf{P})=\left\{ \begin{array}{cc} \infty, & \mathbf{Q} \leq b \\ 0, & \mathbf{Q}>b. \\ \end{array} \right. $$
Actualización :
He leído el artículo proporcionado por Trimok, y otro que se encuentra en las referencias, pero todavía estoy molesto con la forma en que el propagador es calculada. Puedo estar equivocado, pero parece que en ese tipo de artículos, no siempre empezar con el cálculo desde cero, sin utilizar lo que ya saben acerca de la ruta integral.
De hecho, estoy tratando de escribir algo sobre el uso de la ruta de las integrales en la opción de fijación de precios. De Takhtajan del libro, sé que para un general de Hamilton $H=H_0 + V(q)$ donde $H_0 = \frac{P^2}{2m}$, el camino de la integral en el espacio de configuración (o, más precisamente, el propagador) está dada por
\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle K(q',t';q,t) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi\hbar i \Delta t}\right)^{\frac{n}{2}} \\ \displaystyle \times \underset{\mathbb{R}^{n-1}}{\int \cdots\int} \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{k+1} - q_k}{\Delta t}\right)^2 - V(q_k)\right)\Delta t\right\} \prod_{k=1}^{n-1} dq_k.\\ \end{array} \end{equation} Me gustaría empezar mi cálculo a partir de este resultado, y evitar que se repita una vez más el procedimiento de división de tiempo. Así que du a la forma particular de la potencial, creo que puedo volver a escribir la ecuación anterior como \begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle K(q',t';q,t) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi\hbar i \Delta t}\right)^{\frac{n}{2}} \\ \displaystyle \times \int_0^{+\infty} \cdots\int_0^{+\infty} \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\frac{m}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(q_{k+1} - q_k)^2}{\Delta t}\right\} \prod_{k=1}^{n-1} dq_k.\\ \end{array} \end{equation} Entonces necesito un truco para volver a la plena integrales sobre $\mathbb{R}$ y utilizar lo que ya saben sobre la partícula libre propagador. Sin embargo, puesto que las integrales están acoplados, yo no encontrar el camino correcto para acabar con el cálculo y encontrar el resultado proporcionado por Trimok.
Podría usted por favor decirme si estoy bien o mal ? Gracias.
