Si $n$ es impar y $abc=(n-a)(n-b)(n-c),$ entonces $LCM((n,a),(n,b),(n,c))=n.$

Question

Demuestra que si $a,b,c,n \in \mathbb Z^{+},2 \not\mid n$ y $$abc=(n-a)(n-b)(n-c),$$ $x=(n,a),y=(n,b),z=(n,c),$ entonces $LCM(x,y,z)=n.$

Si $n=35,a,b,c=5, 21, 28,$ entonces $x=(35,5)=5,y=(35,21)=7,z=(35,28)=7,LCM(x,y,z)=35.$

Si $n=945,a,b,c=9, 756, 910,$ entonces $x,y,z=9, 35, 189,LCM(x,y,z)=945.$

He comprobado todo $n<1000$ y esto siempre es cierto.

(Por otra parte, si $2 \mid n$ entonces $LCM(x,y,z)=n$ o $\dfrac n2.$ )

Answer 1

Primero, considere si $\gcd (a,b,c) \neq 1$ . Si es así, que $p$ ser cualquier primo que lo divida, y así $p^3 \mid abc = (n-a)(n-b)(n-c)$ . Por lo tanto, WLOG $p \mid n-a$ que nos da $p \mid n$ . Ahora, podemos dividir cada término por $p$ y seguir en la misma situación. De ahora en adelante, asume que $\gcd (a,b,c) = 1$ .

Deje que $p$ ser un primo (impar) que divide $n$ . Deje que $p^k$ ser la mayor potencia de $p$ que divide $n$ . Deje que $p^ \alpha , p^ \beta , p^ \gamma$ ser la mayor potencia de $p$ que divide $a, b, c$ respectivamente. Tenemos $p^{ \min (k, \alpha ) }$ es la mayor potencia de $p$ que divide $x=(n,a)$ . Por lo tanto, queda por demostrar que

$$\max [ \min (k, \alpha ), \min (k, \beta ), \min (k, \gamma ) ] = k,$$

que es equivalente a $$\max ( \alpha , \beta , \gamma ) \geq k.$$

Habiendo motivado la mirada de este animal, ahora demostramos que es verdad. WLOG, $\alpha \geq \beta \geq \gamma = 0$ (ya que $\gcd (a,b,c) = 1$ ). Si $\beta \geq k$ entonces hemos terminado. De lo contrario, suponga que $k > \beta$ .

Trabajaremos el módulo $p^{k+ \beta }$ . Se nos da que

$$abc = n^3 - (a+b+c)n^2 + (ab+bc+ca) n -abc$$

Desde $k > \beta$ por lo tanto $n^3, n^2 \equiv 0 \pmod {p^{k+ \beta } }$ . Como tal, tenemos

$$abc \equiv (ab+bc+ca)N - abc \equiv -abc \pmod {p^{k+ \beta }}$$

Por lo tanto, $\alpha + \beta \geq k + \beta$ que nos da $\alpha \geq k$ .

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Nota: La razón para $k > \beta$ es porque si $\alpha \geq \beta > k$ entonces el $cn^2$ El término no desaparece cuando se toma el mod $p^{k + \beta }$ .