expectativa de $e^{-x}$ cuando x es log-normal

Question

Estoy tratando de encontrar el valor esperado de $ e^{-x} $ cuando $ x$ es log-normal. Sé eso si $ x \sim N(\mu, \sigma) $ % entonces $ E[e^x] = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} $, la expectativa de una log-normal.

Estoy tratando de encontrar la expectativa del exponente de la negativa de una log-normal: $ E[e^{-e^x}] $ donde $ x\sim N(\mu, \sigma) $.

Answer 1

Supongamos $X$ es log-normal de la variable aleatoria. La pregunta es acerca de la expectativa de $\DeclareMathOperator{\E}{E} \E \exp(-X)$. Esto está relacionado con el momento de generación de la función de $X$, $$ M_X(t) = \E E^{tX} $$ Así que usted está pidiendo $M_X(-1)$, que sí existen, pero no cerrado expresión es conocida. Así, usted podría tratar de integración numérica (por ejemplo en R):

> f  <-  function(x) exp(-x)*dlnorm(x)
> integrate(f,0,+Inf)
0.3817565 with absolute error < 1.8e-05
> # Or by stochastic simulation:
> mean(exp(-rlnorm(100E6,0,1)))
[1] 0.3818151

Si quieres algunas aproximaciones analíticas, tiene una mirada en: Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen, Leonardo Rojas-Nandayapa: "En la transformada de Laplace de la distribución lognormal."